Integralrechnung

Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

Das Kapitel Integralrechnung in unserem Online-Kurs Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2) besteht aus folgenden Inhalten:

1. Integralrechnung

   Integralrechnung

   

   Auf den folgenden Seiten werden erweiterte Probleme der Integralrechung behandelt:partielle IntegrationIntegration durch SubstitutionRotationsvolumen

2. partielle Integration

   Integralrechnung > partielle Integration

   

   Bei der Integration komplexerer Funktionen muss oft eine bisher nicht eingeführte Integrationsregel angewandt werden. Sie stellt das Gegenstück zu der aus der Differentialrechnung bekannten Produktregel dar.Seien u und v zwei stetig differenzierbare Funktionen. Die Produktregel besagt nun, dass $(u v)^\prime = u^\prime v + u v^\prime$ gilt, woraus man durch umstellen $u^\prime  v = (u v)^\prime - u v^\prime$ erhält. Auf die letzte Gleichung kann nun der Integraloperator angewendet ...

3. Integration durch Substitution

   Integralrechnung > Integration durch Substitution

   

   Die Substitutionsregel entsteht, ebenso wie die partielle Integration, durch die Umkehrung einer Differentiationsregel, der Kettenregel. Seien $\phi: \left[ a; b \right] \rightarrow I, F: I \rightarrow \mathbb{R}$ stetig differenzierbar und $f:=F^\prime$, dann lautet die Kettenregel: $(F(\phi(t)))^\prime = F^\prime(\phi(t)) \phi^\prime(t) = f(\phi(t)) \phi^\prime(t)$. Integriert man diese Gleichung, ergibt sich die Substitutionsregel: $\int_a^b f(\phi(t)) \phi^\prime(t) \mathrm{d}t = F(\phi(b))-F(\phi(a)) ...

4. Rotationsvolumen

   Integralrechnung > Rotationsvolumen

   

   Häufig tritt auch die Frage nach dem Volumen eines Rotationskörpers bzw. eines Drehkörpers (z.B. ein Werkstück das auf einer Drehbank hergestellt wurde) auf.Zunächst muss man entscheiden, ob sich der Rotationskörper durch einen stetigen Funktionsgraphen und eine Rotation darstellen lässt (hierzu ist unbedingt die Definition von Funktionen zu wiederholen). Lässt sich die Rotationsachse auf die x-Achse bringen, so dass die Kurve die den Rand oberhalb derselben ...