Schnitte

Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

Das Kapitel Schnitte in unserem Online-Kurs Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla) besteht aus folgenden Inhalten:

1. Schnitte

   Schnitte

   

   Nachdem wir im vergangenen Kapitel ausführlich die verschiedenen Möglichkeiten untersucht haben, wie Objekte zueinander im Raum liegen können, beschäftigen wir uns jetzt mit dem "interessanteren" Teil der Möglichkeiten: zu Objekten, die sich schneiden.LösungsstrategienEin Schnitt von zwei oder mehr Objekten bedeutet immer das Suchen nach gemeinsamen Punkten: Gibt es Punkte, die auf beiden (oder mehr) Objekten liegen? Oder anders ausgedrückt: Welche Vektoren $\vec{x}$ ...

2. Schnitt Gerade-Gerade

   Schnitte > Schnitt Gerade-Gerade

   

   Über die Untersuchung der Lage zweier Geraden zueinander gibt es ein anderes Kapitel. Hier wollen wir uns mit einem Beispiel für den Schnitt zweier Geraden begnügen.Berechne den Schnittpunkt der Geraden $g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\-1\\3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix}$ und $h: \vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\4\\4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\3 \end{pmatrix}$. Hierzu setzen wir die Geraden gleich und lösen das Gleichungssystem: $g \cap ...

3. Schnitt Ebene-Gerade

   Schnitte > Schnitt Ebene-Gerade

   

   Wenn eine Gerade nicht zufällig parallel zu einer gegebenen Ebene verläuft, muss sie diese zwangsweise in einem Punkt S schneiden. Um den Schnittpunkt zu berechnen, müssen wir Geraden- und Ebenengleichung gleichsetzen, wenn die Ebene in Parameterdarstellung gegeben ist. Ähnlich wie beim Schnitt von Geraden erhalten wir wieder ein lineares Gleichungssystem, jetzt allerdings mit drei Unbekannten (nämlich den Parametern aus den Gleichungen). Einfacher gestaltet sich die Bestimmung ...

4. Schnitt Ebene-Ebene

   Schnitte > Schnitt Ebene-Ebene

   

   Wie wir schon festgestellt haben schneiden sich zwei Ebenen in einer Schnittgeraden, wenn sie nicht parallel sind. Ein Gleichsetzen der Ebenengleichung führt demnach auf ein lineares Gleichungssystem, das unendlich viele Lösungen (alle Punkte einer Geraden) haben muss.Zwei Ebenen in Koordinatenform sind gegeben mit $E:  3x_1+2x_2-x_3 = 5$ und $F:  2x_1-x_2+x_3 = 3$. Wir erhalten also ein LGS mit: $\begin{align} 3x_1 + 2x_2 – x_3 &= 5 \\ 2x_1 – x_2 + x_3 &= ...