Ableitungsregeln - Die Produktregel anwenden

Die Anwendung der Produktregel befasst sich mit einer speziellen bestimmten Art und Weise der Ableitung.

Die Produktregel - Herleitung

Die Ableitung einer Funktion berechnet man mit der allgemeinen Steigungsformel:

$m= \Large{\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

In dieser Formel ersetzen wir nun wie folgt:

$y_{2}$ durch $u(x+h) \cdot v(x+h)$,

$y_{1}$ durch $u(x) \cdot v(x)$,

$x_{2}$ durch $x+h$ und

$x_{1}$ durch $x$

Wir erhalten:

$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}\Large{(\frac{u(x+h)\cdot v(x+h) - u(x) \cdot v(x)}{x+h-x}})$

Im nächsten Schritt vereinfachen wir den Nenner und fügen in den Zähler den grün markierten Term ein. Dieser ändert den Wert der Funktion nicht, ist aber für weitere Schritte sehr wichtig.

$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{(\frac{u(x+h)\cdot v(x+h) \textcolor{green}{-u(x)\cdot v(x+h)+ u(x)\cdot v(x+h)} - u(x) \cdot v(x)}{h}})$

Mithilfe des Einschubes ist es uns jetzt möglich, die Funktion zu vereinfachen. Wir können den rot markierten Bereich zusammenfassen, indem wir den Term $v(x+h)$ ausklammern. Den grün markierten Bereich können wir zusammenfassen, indem wir den Term $u(x)$ ausklammern. Wir erhalten aus:

$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0} {(\frac{\textcolor{BrickRed}{u(x+h)\cdot v(x+h) -u(x)\cdot v(x+h)} \textcolor{green}{+ u(x)\cdot v(x+h) - u(x) \cdot v(x)}}{h}})$

den folgenden Funktionsterm:

$f'(x)=\lim\limits_{h \to 0}{(\frac{\textcolor{BrickRed}{[u(x+h)-u(x)]\cdot v(x+h)}\textcolor{green}{+ u(x)\cdot [v(x+h)-v(x)]}}{h}})$

Im nächsten Schritt ziehen wir die einzelnen Terme auseinander und erhalten:

$f'(x)={\lim\limits_{h \to 0} \frac{u(x+h)-u(x)}{h} \cdot \lim\limits_{h \to 0} v(x+h)+\lim\limits_{h \to 0} u(x) \cdot \lim\limits_{h \to 0} \frac{v(x+h)-v(x)}{h}}$

Wir erkennen im ersten Teil des Terms, dass es sich um die Ableitung $u'(x)$ handelt. Beim zweiten Term entsteht $v(x)$, da $h$ gegen $0$ strebt. Aus dem dritten Term wird $u(x)$. Der vierte und letze Funktionsterm ist die Ableitung $v'(x)$.

Die Ableitungsregel mit deren Hilfe ein Produkt aus zwei Funktionen abgeleitet werden kann, lautet also:

$f'(x)=u'(x) \cdot v(x) +u(x) \cdot v'(x)$

Die Produktregel anwenden - Beispiel

Schauen wir uns die Regel an einem Beispiel an. Wir haben die Funktion $f(x)=3x^2 \cdot x$ gegeben und wollen diese ableiten.

Laut der Produktregel benötigen wir die Ableitungen der beiden Funktionsterme. Im ersten Schritt musst du also die beiden Funktionsterme erkennen. Im zweiten Schritt musst du die beiden Funktionsterme ableiten:

$u(x)=3x^2\;$, Ableitung: $\textcolor{blue}{u'(x)=6x}$

$v(x)=x\;$, Ableitung: $\textcolor{green}{v'(x)=1}$

Im nächsten Schritt setzen wir alle benötigten Funktionsteile in die Ableitungsregel ein und erhalten:

$f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

$f'(x)=\textcolor{blue}{6x} \cdot x+3x^2 \cdot \textcolor{green}{1}$

Im letzten Schritt vereinfachen wir die Funktion soweit wie möglich. Wir erhalten als Lösung:

$ f'(x)=6x^2 +3x^2 ~~~\rightarrow~~~f'(x)= 9x^2$

Die Ableitung der Funktion $f(x)=3x^2 \cdot x$ ist also $f'(x)=9x^2$.

Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!