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Streckung und Stauchung einer Normalparabel

Funktionen
Quadratische Funktionen

Video: Streckung und Stauchung einer Normalparabel

Thema des folgenden Lerntextes ist das Stauchen und Strecken von Parabeln in der Mathematik. Wir klären die Bedeutung des Faktors $a$, welcher vor dem $x^2$ in einer Funktion steht. Er wird auch Streckfaktor genannt und kann eine Funktion strecken oder stauchen (bzw. an der x-Achse spiegeln (die Funktion $_"$umdrehen$"$)). Wir behandeln hier die Funktionen von Parabeln.

Parabeln strecken und stauchen - 6 Fakten

Im Folgenden geben wir dir vorab schonmal einen groben Überblick über das, was du über Streckung und Stauchung wissen musst:

Methode

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  1. Der Streckfaktor $a$ einer Funktion gibt an, ob und wieviel diese Funktion gestaucht/gestreckt wurde.
  2. Wenn $a$ größer als 1 ist, wurde die Funktion gestreckt.
  3. Wenn $a$ kleiner als 1 ist, wurde die Funktion gestaucht.
  4. Liegt kein Streckfaktor $a$ vor, ist $a=1$ und die Funktion entspricht der Normalparabel ($f(x)=x^2$).
  5. Ist der Streckfaktor $a$ negativ, ist der Graph zu der zugehörigen Funktion nach unten geöffnet.
  6. Ist der Streckfaktor $a$ positiv, ist der Graph zu der zugehörigen Funktion nach oben geöffnet.

Wir erklären dir nachfolgend die oben genannten Kurzinformationen. Zusätzlich gehen wir mit dir eine Übung durch, damit du fit im Thema Stauchung und Streckung von Normalparabeln wirst.

Was ist ein Streckfaktor? - Definition

Merke

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Sowohl bei der allgemeinen Form als auch bei der Scheitelpunktform ist der Streckfaktor das $a$, welches vor dem $x^2$ steht bzw. vor der Klammer, die quadriert wird.

$\textcolor{red}a>1$ (a größer 1) $\rightarrow $ Funktion ist gestreckt

$\textcolor{red}a<1$ (a ist kleiner 1) $\rightarrow $ Funktion ist gestaucht

allgemeine Form: $f(x)=\textcolor{red}a⋅x^2+b⋅x+c$
Scheitelpunktform:$f(x)=\textcolor{red}a⋅(x−d)^2+e$

Parabelöffnung ablesen: nach oben oder unten geöffnet?

Der Graph ist nach oben geöffnet, wenn a positiv ist. Der Graph ist nach unten geöffnet, wenn a negativ ist. Du musst also bei Parabeln nicht berechnen, sondern nur ablesen, in welche Richtung sie geöffnet ist.

Merke

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$a>0$ (a größer als 0, a ist positiv)  $\rightarrow $ der Graph ist nach oben geöffnet

$a<0$ (a kleiner als 0, a ist negativ) $\rightarrow $ der Graph ist nach unten geöffnet

Wie liest man die Streckung einer Parabel ab?

Wenn der Faktor vor dem $x^2$ größer als $1$ ist, wird die Funktion gestreckt, also $_"$in die Länge gezogen$"$. Dies kann man sich relativ einfach erklären: Die Normalparabel hat den Streckfaktor $1$ ($f(x) = x^2$); daraus ergeben sich folgende Punkte, die auf der Normalparabel liegen:

$1^2 = 1$ $\rightarrow $ P(1/1)
$2^2 = 4$ $\rightarrow $ P(2/4)
$3^2 = 9$ $\rightarrow $ P(3/9)

Wenn $a$ nun größer als $1$ ist, wird jede Quadratzahl mit $a$ multipliziert.

Nehmen wir an, der Faktor vor dem $x^2$ beträgt $3$. Dann wird jede Quadratzahl mit $3$ multipliziert. In diese Funktion $f(x) = 3·x^2$ setzen wir nun die ersten x-Werte ein:

$3 · 1^2 = 3 · 1 = 3$ $\rightarrow $ P(1/3)
$3 · 2^2 = 3 · 4 = 12$ $\rightarrow $ P(2/12)
$3 · 3^2 = 3 · 9 = 18$ $\rightarrow $ P(3/18)

Dabei musst du darauf achten, dass immer zuerst die Quadratzahl ausgerechnet wird. Danach wird die Quadratzahl mit $a$ multipliziert, nicht umgekehrt!

vergleich
Abbildung: zwei quadratische Funktionen

Die linke Funktion ist um den Faktor $3$ gestreckt, die rechte Funktion ist die Normalparabel. Siehst du den Unterschied?

Wie du siehst, ist die linke Funktion nach $_"$oben gezogen$"$ (gestreckt). 

Wie liest man die Stauchung einer Parabel ab?

Wenn der Faktor vor dem $x^2$ kleiner als 1 ist, wird die Funktion gestaucht oder, anders gesagt, $_"$zusammengedrückt$"$

Wenn wir nun eine Zahl vor dem $x^2$ stehen haben, die kleiner als $1$ ist, werden die Quadratzahlen mit diesem Wert multipliziert.

Nehmen wir an, der Faktor vor dem $x^2$ beträgt $0,2$. Dann wird jede Quadratzahl mit $0,2$ multipliziert.
In diese Funktion $f(x) = 0,2·x^2$ setzen wir nun die ersten x-Werte ein:

$0,2 · 1^2 = 0,2 · 1 = 0,2$ $\rightarrow $ P(1/0,2)
$0,2 · 2^2 = 0,2 · 4 = 0,8$ $\rightarrow $ P(2/0,8)
$0,2 · 3^2 = 0,2 · 9 = 1,8$ $\rightarrow $ P(3/1,8)

Wie du siehst, steigt der Graph viel langsamer als die Normalparabel und sieht so aus:

stauchung-um-02

Die Funktion sieht so aus, als hätte sie jemand zusammengedrückt (gestaucht).

Parabelöffnung - Beispiel mit Lösungsweg

Eine Funktion ist nach unten geöffnet, wenn der Faktor vor dem $x^2$ negativ ist. Denn wenn wir vor das $x^2$ einen negativen Faktor setzen, werden die y-Werte negativ.

Hierzu nun ein Beispiel: Wir schauen uns die Funktion $f(x) = -x^2$ an und erstellen für die Funktion eine Wertetabelle.

x-Wertey-Werte
-1f(-1)= -(-1)² = -1
00
1f(1) = - (1)² = -1
2-4
3-9

Versuche, mithilfe der Wertetabelle die Normalparabel zu zeichnen.

Vertiefung

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Lösung: Hier siehst du die sich ergebende Funktion

Wie du erkennst, sieht diese Funktion fast so aus wie die Normalparabel. Der Unterschied ist jedoch, dass dier Graph umgedreht bzw. auf den Kopf gestellt wurde.

Hinweis

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Möchtest du noch einmal vertiefen, wie du eine Normalparabel zeichnen kannst? Im Lerntext Quadratische Funktionen zeichnen, erklären wir dir dies ausführlich.

Diese umgedrehte Normalparabel kann nun wieder gestreckt oder gestaucht werden.

Hierzu ein letztes Beispiel:
$f(x) = - 0,9 x^2 + 3$

Die Funktion ist gestaucht und nach unten geöffnet, da der Faktor kleiner als $1$ und negativ ist. Außerdem wird sie um $3$ nach oben verschoben. Und somit sieht der Graph so aus:

stauchung-und-verschiebung

Jetzt weißt du auch schon, wie eine Funktion gestreckt und gestaucht wird. Außerdem hast du gelernt, wann eine quadratische Funktion nach oben oder unten geöffnet ist.

Hinweis

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Im Lerntext Wie verschiebt man eine Normalparabel kannst du nachlesen und lernen, wie du eine Normalparabel verschiebst. Außerdem lernst du dort, wie du an einer Funktion erkennst, um wie viele Stellen und in welche Richtung diese Funktion verschoben wurde.

Überprüfe dein Verständnis zur Streckung und Stauchung von Normalparabeln mit unseren Übungsaufgaben. Wir wünschen dir dabei viel Spaß!

Multiple-Choice
Wie sieht die Abbildung der Funktion mit der Gleichung $f(x)= 4,5 x^2+1$ aus?
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.