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Winkelfunktion - Wie rechne ich mit dem Tangens?

Geometrie
Sinus, Kosinus und Tangens

Video: Winkelfunktion - Wie rechne ich mit dem Tangens?

Auch zu dieser Winkelfunktion findet ihr hier leicht verständliche Erklärungen.

Winkelfunktion Tangens - Definition

Der Tangens ist die dritte und letzte Winkelfunktion, die wir bearbeiten. Er beschreibt das Verhältnis zwischen einem Winkel, der Ankathete und der Gegenkathete des Winkels. Der Tangens wird mathematisch $\tan(\alpha)$ abgekürzt.

Merke

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$tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$

Was kann man mit dem Tangens berechnen? - Formeln

Mit dem Tangens rechnest du, wenn du zwei der drei Größen, Winkel, Ankathete des Winkels und Gegenkathete des Winkels gegeben hast und die dritte Größe suchst. Das Vorgehen ist also ähnlich wie beim Sinus und Kosinus.

Bitte Beschreibung eingeben

 

$tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$

Auf das obere Bild bezogen, ergibt sich mit der Formel: $tan(\alpha) = \frac{a}{b}$

Methode

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$Winkel = tan^{-1}(\frac{Gegenkathete}{Ankathete})$ 

$Gegenkathete = tan(Winkel)\cdot Ankathete$

$Ankathete= \frac{Gegenkathete}{tan(Winkel)}$

Auf diese Formeln kommst du durch Umformung der Grundformel $tan(\alpha) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete}$. Daher musst du diese Formeln nicht auswendig lernen. Es ist aber dennoch hilfreich sie zu kennen. Vor allem, da du Aufgaben schneller lösen kannst, wenn du nicht erst die Formel umstellen musst.

Tangens - Beispielaufgaben mit Lösungsweg

Beispiel

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Winkel

Berechnung des Winkels $\alpha$ mit dem Tangens.

$\alpha = ?,  a = 5~km,  b = 7~km$

$tan(\alpha) = \frac{a}{b}$

$tan(\alpha) = \frac{5~km}{7~km}$

$\alpha = tan^{-1}\frac{5}{7}$

$\alpha\approx{35,54} ^\circ$

Damit ist der Winkel ungefähr $35,5^\circ$ groß.

Gegenkathete berechnen

Beispiel

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Gegenkathete

Berechnung der Länge der Gegenkathete (hier b) mit dem Tangens.

$\alpha = 60 ^\circ,  a = ?,  b = 7,7~mm$

$tan(\alpha) = \frac{a}{b}$


$tan(60 ^\circ) = \frac{a}{7,7~mm}$

${tan(60 ^\circ)}\cdot{7,7~mm} = a$

${a}\approx{13,34~mm}$

Die Gegenkathete ist ca. 13,34 mm lang.

 

Ankathete berechnen

Beispiel

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Ankathete

Berechnung der Länge der Ankathete (hier c) mit dem Tangens.

$\alpha = 50 ^\circ,  a = 5~m,  b = ?$

$tan(\alpha) = \frac{a}{b}$

$tan(50 ^\circ) = \frac{5}{b}$

${tan(50 ^\circ)}\cdot{b} = 5~m$

$b = \frac{5~m}{tan(50 ^\circ)}$

${b} \approx {4,2~m}$

Die Ankathete ist ca. 4,2 m lang.

Jetzt hast du das nötige Wissen über das Rechnen mit dem Tangens. Überprüfe dein Wissen jetzt mit den Übungsaufgaben. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

Lückentext

Berechne die Länge der Ankathete!

Aufgabe cos, tan2
 
$\alpha~{=}~60^\circ$
$Gegenkathete~{=}~8,5~cm$
Die Ankathete ist ca. cm lang.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.

$Tangens(\alpha){=}\frac{Gegenkathete}{Ankathte}$