Wie erstellt man eine Vierfeldertafel? - Beispielaufgabe

Die Vierfeldertafel ist ein wichtiges Instrument der Stochastik bzw. der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Eine Vierfeldertafel hilft dir immer dann weiter, wenn du eine Aufgabe hast, bei der zwei verschiedene Ereignisse $A$ und $B$ betrachtet werden. Zu jedem dieser Ereignisse kannst du ein Gegenereignis formulieren, sodass du insgesamt vier Möglichkeiten erhältst:

• Ereignis A: $A$

• Gegenereignis von A: $ \overline {A}$

• Ereignis B: $B$

• Gegenereignis von B: $ \overline {B}$

Kombiniert man diese Ereignisse und Gegenereignisse, ergeben sich insgesamt vier Kombinationen:

• $A$ und $B$

• $A$ und $\overline {B}$
  

• $B$ und $\overline{A}$
  

• $\overline {B}$ und $\overline {A}$
  

Vierfeldertafel - Die allgemeine Form

Wir können die Kombinationsmöglichkeiten der Ereignisse in eine Tabelle schreiben, die aus vier Feldern besteht. In diese vier Felder werden die absoluten Häufigkeiten der vier Kombinationen eingetragen. Die Kombination aus zwei Ereignissen wird als Schnittmenge bezeichnet; die zwei Ereignisse werden mit dem mathematischen Zeichen für "und" ($\cap$) verbunden. Die Vierfeldertafel bildet die bedingte Wahrscheinlichkeit, also die Kombinationsmöglichkeiten von Ereignissen, ab. 

Vierfeldertafel in der allgemeinen Form

Du kannst dir hier eine vorlage-vierfeldertafel herunterladen.

Drei Darstellungsformen der Vierfeldertafel

Eine Vierfeldertafel muss nicht aus absoluten Häufigkeiten bestehen. Es gibt drei unterschiedliche Darstellungsformen:

• Absolute Häufigkeit

• Relative Häufigkeit in Dezimalschreibweise

• Relative Häufigkeit in Prozent

Eine Alternative zur Vierfeldertafel ist das Baumdiagramm. Schau dir auch diese Möglichkeit an.

Wie berechnet man die bedingte Wahrscheinlichkeit mit einer Vierfeldertafel? - Beispielaufgabe

Am besten versteht man die Vierfeldertafel anhand eines Beispiels:

Unsere erste Aufgabe ist es, die Ereignisse A und B zu erkennen.

• Ereignis $A$ ist in diesem Fall die Klasse 10a; das entsprechende Gegenereignis ist die Klasse 10b.

• Ereignis $B$ ist das Merkmal "den Mathematikunterricht mögen;" das Gegenereignis dementsprechend das Merkmal "den Mathematikunterricht nicht mögen."

Wenn wir die Ereignisse bestimmt haben, können wir die Vierfeldertafel erstellen.

Die Lücken füllen wir zunächst einmal mit Text aus, um zu verstehen, was die einzelnen Schnittmengen bedeuten:

Vierfeldertafel in Worten

Wir wissen jetzt, welche Zahl in welches Feld der Vierfeldertafel gehört.

Im nächsten Schritt tragen wir nun alle absoluten Häufigkeiten ein, die uns aus der Aufgabe bekannt sind:

• 9 Schüler aus der Klasse 10b mögen den Mathematikunterricht.

• Insgesamt besteht die Klasse 10b aus 36 Schülern.

• 12 Schüler aus der Klasse 10a mögen den Mathematikunterricht nicht.

• Insgesamt gibt es 27 Schüler in der 10. Jahrgangsstufe, die den Mathematikunterricht mögen.
  

  ausgefüllte Vierfeldertafel

Wenn alle Zahlen eingetragen sind, die wir aus der Aufgabenstellung kennen, können wir die Zahlen, die in die leeren Felder gehören, berechnen. Wie du bereits weißt, stehen am Ende jeder Zeile bzw. Spalte die Gesamtzahlen, die du durch einfache Addition erhältst. Wenn du also in einer Zeile oder Spalte zwei Angaben gegeben hast, kannst du die dritte einfach ausrechnen. Also suchen wir in unserer Tabelle nach einer Zeile oder Spalte, die zwei Werte enthält.

In der ersten Zeile finden wir folgende Informationen:

• Insgesamt mögen 27 Schüler der 10. Jahrgangsstufe den Mathematikunterricht.

• Aus der Klasse 10b mögen 9 Schüler den Mathematikunterricht.

Wie viele Schüler aus der Klasse 10a mögen also den Mathematikunterricht? Wir ziehen einfach von der Gesamtzahl $27$ die $9$ Schüler der Klasse 10b ab und erhalten so die Anzahl der Schüler aus Klasse 10a, die den Mathematikunterricht mögen: $18$

Vierfeldertafel ausfüllen (1)

Durch den errechneten Wert haben wir nun auch zwei Angaben in der ersten Spalte und können so nach und nach die Vierfeldertafel vervollständigen.

Vierfeldertafel ausfüllen (2)

Wenn wir alle Werte errechnet haben, bleibt nur noch das Feld unten rechts übrig. In diesem Feld steht die Gesamtzahl aller Schüler, die sich aus der Addition sowohl der Zeile "Gesamt" als auch der Spalte "Gesamt" ergibt. Dieser letzte Schritt ist gleichzeitig eine gute Probe, um zu kontrollieren, ob wir richtig gerechnet haben. Stimmen die Summen nicht überein, haben wir einen Fehler beim Ausfüllen der leeren Felder gemacht.

In diesem Fall haben wir richtig gerechnet:

• 30 + 36 = 66

• 27 + 39 = 66
  

  Vierfeldertafel ausfüllen (3)

Beim Umrechnen der absoluten Häufigkeiten in Prozentangaben setzt du das untere rechte Feld mit $ 100 \%$ gleich und errechnest die relativen Anteile der anderen Werte.

Vierfeldertafel mit Prozentangaben

Erstellen einer Vierfeldertafel - 4 Regeln

Teste dein neu erlerntes Wissen zum Thema Vierfeldertafel mit unseren Übungsaufgaben! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!