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Was ist der dekadische, binäre und natürliche Logarithmus?

Zahlenlehre und Rechengesetze
Logarithmen und Exponentialgleichungen

Video: Was ist der dekadische, binäre und natürliche Logarithmus?

In der Mathematik unterscheidet man neben dem allgemeinen Logarithmus drei weitere Logarithmensysteme. Diese Systeme unterscheiden sich von der allgemeinen Form des Logarithmus dadurch, dass sie alle eine festgelegte Zahl als Basis besitzen.

Im Gegensatz zum allgemeinen Logarithmus, bei dem die Basis einen beliebigen Wert besitzt, hat die Basis in einem Logarithmensystem immer denselben Wert. Der Numerus bzw. der Logarithmand ist auch in Logarithmensystemen beliebig. Im Folgenden schauen wir uns die drei gängigen Logarithmensysteme an.

Hinweis

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Was bedeutet der Logarithmus nochmal?

Logarithmus mit der Basis a und dem Numerus b.
Logarithmus mit der Basis a und dem Numerus b.

Der Logarithmus stellt folgende Frage: Mit welcher Zahl muss ich die Basis $\textcolor{blue}{a}$ hoch nehmen, um den Numerus $\textcolor{black}{b}$ zu erhalten?

Was ist der dekadische Logarithmus?

Das bekannteste Logarithmensystem ist das des dekadischen Logarithmus. Der dekadische Logarithmus zeichnet sich dadurch aus, dass seine Basis immer den Wert $10$ besitzt. Anstatt dem ausfühlichen Ausdruck $\log_{10}(b)$ schreibt man $\lg{b}$.

Merke

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Die Basis eines dekadischen Logarithmus hat immer den Wert $10$.

$\log_{10}~=~lg$

Der dekadische Logarithmus findet beispielsweise Anwendung beim Lösen von Exponentialgleichungen, d.h. Gleichungen, bei denen die unbekannte Variable $x$ der Exponent einer Potenz ist.

Beispiel

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$\lg(1000) = \log_{10}(1000) = 3$

Was ist der binäre Logarithmus?

Beim binären Logarithmus hat die Basis immer den Wert $2$. Man nennt den binären Logarithmus auch dualen Logarithmus. Wie schon bei dem dekadischen Logarithmus wird der Ausdruck $\log_{2}$ nicht immer ausgeschrieben. Je nachdem, ob man sich für die Bezeichnung binär oder dual entscheidet, schreibt man $lb$ oder $ld$.

Merke

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Logarithmen zur Basis $2$ werden binäre oder auch duale Logarithmen genannt.

$\log_{2} = lb = ld$

Der binäre Logarithmus wird dir in deinem Mathematikunterricht nicht oft begegnen. Er findet vorallem in der Informatik zur Berechnung von Binärsystemen Anwendung.

Beispiel

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$lb(8) = ld(8) = \log_{2}(8) = 3$

Was ist der natürliche Logarithmus?

Der natürliche Logarithmus ist ein Logarithmus zur Basis $e$ (eulerschen Zahl). Die eulersche Zahl ist wie $ \pi$ eine irrationale Konstante. Du wirst in deinem späteren Mathematikunterricht noch oft auf $e$ stoßen. Sie wird vorallem in der Analysis verwendet. Der natürliche Logarithmus wird mit $ln$ abgekürzt.

Der natürliche Logarithmus ist ein Logarithmus zur Basis $e$.

$\log_{e}~=~ln$

$e = 2,71828...$

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Der natürliche Logarithmus ist ein Logarithmus zur Basis $e$.

$\log_{e}~=~ln$

$e = 2,71828...$

Beispiel

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$ln(9) = \log_{e}(9) \approx 2,197$

Zur Vertiefung dieses Themas, schau auch nochmal in die Übungen! Viel Erfolg beim Lernen!

Lückentext
Trage die Abkürzungen der Logarithmensysteme ein.
$\log_{10}$ =

$\log_{2}$ =

$\log_{e}$ =

0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte füllen Sie alle Lücken im Text aus. Möglicherweise sind mehrere Lösungen für eine Lücke möglich. In diesem Fall tragen Sie bitte nur eine Lösung ein.