Zweites Logarithmusgesetz - Quotienten im Logarithmus
In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit der Herleitung und der Anwendung des zweiten Logarithmusgesetzes.
Das zweite Logarithmusgesetz
Merke
2. Logarithmusgesetz
Der Logarithmus eines Bruchs entspricht dem Logarithmus des Zählers abzüglich des Logarithmus des Nenners.
$\log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(x) - \log_{a}(y)$
Das zweite Logarithmusgesetz - Beispiele
Beispiel
- $\log_{4}(\frac{1}{16}) = \log_{4}(1) - \log_{4}(16) = 0 - 2 = -2$
- $\log_{6}(\frac{1}{216}) = \log_{6}(1) - \log_{6}(216) = 0 - 3 = -3$
- $\log_{2}(\frac{32}{1024}) = \log_{2}(32) - \log_{2}(1024) = 5 - 10 = -5$
Herleitung des zweiten Logarithmusgesetzes
Um auf das entsprechende Gesetz zu kommen betrachten wir zunächst folgende Gleichung:
$\log_{a}(\frac{x}{y}) = z $
Unser Ziel ist es, eine alternative Schreibweise für $z$ zu finden, um $x$ und $y$ getrennt voneinander zu behandeln. Dabei beginnen wir analog zur Herleitung des ersten Logarithmusgesetzes mit dem Aufstellen der einzelnen Logarithmen:
Methode
Beide Logarithmen lassen sich unabhängig voneinander aufschreiben und ergeben jeweils ein anderes Ergebnis (m und n).
$\log_{a}(x) = m a^m = x$
$\log_{a}(y) = n a^n = y$
Durch die Potenzschreibweise kann ich den Quotienten auch anders darstellen, indem ich $x$ und $y$ durch $a^m$ und $a^n$ ersetze.
$\frac{x}{y} = \frac{a^m}{a^n}$
Wir haben es nun mit zwei Potenzen gleicher Basis zu tun, die durch einander geteilt werden. Wendet man das entsprechende Potenzgesetz an, ergibt sich:
$\frac{x}{y} = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
Wir können also $a^{m-n}$ für $\frac{x}{y}$ in die Ausgangsgleichung einsetzen:
$\log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(a^{m-n})$
Fassen wir diesen Schritt nochmal in Worte: Nach dem Einsetzen erhalten wir den Logarithmus von $a^{m-n}$ zur Basis $a$. Anders ausgedrückt: Mit was muss ich $a$ hoch nehmen um $a^{m-n}$ zu erhalten? Das Ergebnis liegt auf der Hand:
$\log_{a}(a^{m-n}) = m - n$
Kommen wir also wieder zurück zur Ausgangsgleichung. Durch Logarithmieren ergibt sich:
$\frac{x}{y} = a^{m-n} \log_{a}(\frac{x}{y}) = m - n$
Jetzt müssen wir nur noch die Variablen m und n ersetzen. Um herauszufinden, für was $m$ und $n$ stehen, schaue nochmal oben im grünen Kasten nach.
$\log_{a}(\frac{x}{y}) = m - n \log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(x) - \log_{a}(y)$
Merke
2. Logarithmusgesetz:
Der Logarithmus eines Bruchs entspricht dem Logarithmus des Zählers abzüglich des Logarithmus des Nenners.
$\log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(x) - \log_{a}(y)$
Es gibt noch weitere Rechengesetze für Logarithmen eines Produkts, einer Potenz oder einer Wurzel.
Dein neu erlerntes Wissen kannst du nun in den Übungsaufgaben testen. Viel Erfolg dabei!
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