abiweb
online lernen

Die perfekte Abiturvorbereitung

Zweites Logarithmusgesetz - Quotienten im Logarithmus

Zahlenlehre und Rechengesetze
Logarithmen und Exponentialgleichungen
WebinarTerminankündigung:
 Am 23.10.2020 (ab 10:00 Uhr) findet unser nächstes Webinar statt.
Probe-Termin mit Natalia Menzel 2
- Test
[weitere Informationen] [Terminübersicht]

 

Video: Zweites Logarithmusgesetz - Quotienten im Logarithmus

In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit der Herleitung und der Anwendung des zweiten Logarithmusgesetzes.

Das zweite Logarithmusgesetz

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

2. Logarithmusgesetz

Der Logarithmus eines Bruchs entspricht dem Logarithmus des Zählers abzüglich des Logarithmus des Nenners.

$\log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(x) - \log_{a}(y)$

Das zweite Logarithmusgesetz - Beispiele

Beispiel

Hier klicken zum Ausklappen
  1.  $\log_{4}(\frac{1}{16}) = \log_{4}(1) - \log_{4}(16) = 0 - 2 = -2$
  2. $\log_{6}(\frac{1}{216}) = \log_{6}(1) - \log_{6}(216) = 0 - 3 = -3$
  3. $\log_{2}(\frac{32}{1024}) = \log_{2}(32) - \log_{2}(1024) = 5 - 10 = -5$

Herleitung des zweiten Logarithmusgesetzes

Um auf das entsprechende Gesetz zu kommen betrachten wir zunächst folgende Gleichung:

$\log_{a}(\frac{x}{y}) = z $      

Unser Ziel ist es, eine alternative Schreibweise für $z$ zu finden, um $x$ und $y$ getrennt voneinander zu behandeln. Dabei beginnen wir analog zur Herleitung des ersten Logarithmusgesetzes mit dem Aufstellen der einzelnen Logarithmen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Beide Logarithmen lassen sich unabhängig voneinander aufschreiben und ergeben jeweils ein anderes Ergebnis (m und n).

$\log_{a}(x) = m      a^m = x$

$\log_{a}(y) = n      a^n = y$

Durch die Potenzschreibweise kann ich den Quotienten auch anders darstellen, indem ich  $x$ und $y$ durch $a^m$ und $a^n$ ersetze.

$\frac{x}{y} = \frac{a^m}{a^n}$

Wir haben es nun mit zwei Potenzen gleicher Basis zu tun, die durch einander geteilt werden. Wendet man das entsprechende Potenzgesetz an, ergibt sich:

$\frac{x}{y} = \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$

Wir können also $a^{m-n}$ für $\frac{x}{y}$ in die Ausgangsgleichung einsetzen:

$\log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(a^{m-n})$

Fassen wir diesen Schritt nochmal in Worte: Nach dem Einsetzen erhalten wir den Logarithmus von $a^{m-n}$ zur Basis $a$. Anders ausgedrückt: Mit was muss ich $a$ hoch nehmen um $a^{m-n}$ zu erhalten? Das Ergebnis liegt auf der Hand:

$\log_{a}(a^{m-n}) = m - n$

Kommen wir also wieder zurück zur Ausgangsgleichung. Durch Logarithmieren ergibt sich:

$\frac{x}{y} =  a^{m-n}      \log_{a}(\frac{x}{y}) = m - n$

Jetzt müssen wir nur noch die Variablen m und n ersetzen. Um herauszufinden, für was $m$ und $n$ stehen, schaue nochmal oben im grünen Kasten nach.

$\log_{a}(\frac{x}{y}) = m - n      \log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(x) - \log_{a}(y)$

Merke

Hier klicken zum Ausklappen

2. Logarithmusgesetz:

Der Logarithmus eines Bruchs entspricht dem Logarithmus des Zählers abzüglich des Logarithmus des Nenners.

$\log_{a}(\frac{x}{y}) = \log_{a}(x) - \log_{a}(y)$

Es gibt noch weitere Rechengesetze für Logarithmen eines Produkts, einer Potenz oder einer Wurzel

Dein neu erlerntes Wissen kannst du nun in den  Übungsaufgaben testen. Viel Erfolg dabei!

Multiple-Choice
Wie lässt sich dieser Logarithmus noch ausdrücken?

$\log_{12}(\frac{4}{9}) $
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.