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Punktspiegelung - Schritte einfach erklärt

Geometrie
Geometrische Grundkonstruktionen

Video: Punktspiegelung - Schritte einfach erklärt

In diesem Text wird erklärt, wie eine Figur an einem Punkt gespiegelt wird.

Wie funktioniert eine Punktspiegelung?

Bei der Punktspiegelung wird eine Figur um einen Spiegelpunkt gedreht. Schauen wir uns dies in der nachfolgenden Abbildung einmal an:

punktspiegelung 1
Abbildung: Dreieck am Punkt gespiegelt

Die neu entstandenen Punkte werden Bildpunkte genannt und mit einem Apostroph versehen.

Wir sehen, dass das Dreieck $A'B'C'$ mit dem ursprünglichen Dreieck $ABC$ deckungsgleich ist. Dies bedeutet, dass wir das Dreieck $A'B'C'$ so verschieben und drehen können, dass es genau auf das Dreiecke $ABC$ passt. In der nachfolgenden Abbildung ist dies dargestellt:

punktspiegelung_2_neu
Abbildung: Das punkt-gespiegelte Dreieck und das ursprüngliche Dreieck sind deckungsgleich

Schauen wir uns nun an, wie wir eine Figur an einem Punkt spiegeln können:

Punktspiegelung - Vorgehensweise 

1. Mit dem Geodreieck

Wir haben den Spiegelpunkt und das Viereck gegeben.

punktspiegelung 3
Abbildung: Spiegelpunkt und Viereck

Die Punkte des Vierecks werden zunächst separat gespiegelt und dann werden die Bildpunkte zur Bildfigur verbunden. Um die Punktspiegelung durchführen zu können, benötigst du ein Lineal oder ein Geodreieck.

Lege das Geodreieck mit dem Nullpunkt auf den Spiegelpunkt und drehe es so, dass es einen Punkt des Vierecks berührt.
Nun wird abgelesen, wie weit der Punkt vom Spiegelpunkt entfernt ist. Der gleiche Abstand muss auf der anderen Seite des Spiegelpunktes markiert werden. Benenne anschließend den Bildpunkt deines Punktes, damit du später nicht durcheinander kommst.

punktspiegelung 8
Abbildung: Geodreieck mit Nullpunkt auf Spiegelpunkt

Alle anderen Punkte musst du auf die gleiche Weise spiegeln. Am Ende werden die gespiegelten Punkte in alphabetischer Reihenfolge verbunden.

punktspiegelung 4
Abbildung: gespiegeltes Viereck

Die Vorgehensweise zusammengefasst:

Methode

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  1. Das Geodreieck mit dem Nullpunkt auf den Spiegelpunkt legen und so verschieben, dass es den zu spiegelnden Punkt berührt.

  2. Den Abstand zwischen dem Punkt und dem Spiegelpunkt ablesen und auf der anderen Seite markieren.

  3. Den neu markierten Punkt - Bildpunkt - benennen. Er wird mit dem gleichen Buchstaben und einem Apostroph gekennzeichnet.

2. Mit dem Zirkel und einem Lineal

Wenn wir kein Geodreieck benutzen dürfen, ist die Punktspiegelung ein bisschen aufwendiger. Schauen wir uns dies an einem Beispiel an:

Beispiel

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Der Punkt $P$ ist gegeben und soll mit Zirkel und Lineal am Spiegelpunkt $S$ gespiegelt werden. Das Lineal dient nur dazu, gerade Linien zeichnen zu können und darf nicht als Längenmessgerät verwendet werden. Denn sonst könnten wir wie oben beschrieben vorgehen.

$P$ und Spiegelpounkt $S$" alt="punktspiegelung 5" src="/assets/courses/media/punktspiegelung-5-0-ca.png">
Abbildung: Punkt $P$ und Spiegelpunkt $S$
Als Erstes wird eine Gerade durch die beiden Punkte gezogen. Sie muss weit über den Punkt $S$, den Spiegelpunkt, hinausgehen.
Punktspiegelung 6
Abbildung: Gerade durch die beiden Punkte
Nun brauchen wir den Zirkel. Der Radius wird so eingestellt, dass er genauso groß ist wie der Abstand zwischen den beiden Punkten. Setze dafür die Zirkelspitze auf den Punkt $S$ und stelle dann den Zirkel so ein, dass er den Punkt $P$ berührt. Nun ziehe einen Kreis um den Punkt $S$. Der Kreis schneidet die zuvor gezeichnete Gerade in zwei Punkten: Einmal im Punkt $P$ und einmal im Bildpunkt $P'$. Der zweite Schnittpunkt ist also unser gesuchter Bildpunkt $P'$.

$P$ an Punkt $S$ gespiegelt -> $P'$" alt="punktspiegelung 7" src="/assets/courses/media/punktspiegelung-7-0-ca.png">
Abbildung: Punkt $P$ an Punkt $S$ gespiegelt  $\rightarrow~~P'$

Die einzelnen Schritte haben wir dir hier noch mal zusammengefasst: 

Methode

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Vorgehensweise

  1. Eine lange Gerade durch den Punkte $P$ und den Spiegelpunkt $S$ zeichnen. 

  2. Einen Kreis um den Spiegelpunkt zeichnen. Der Radius ist die Länge des Abstandes zwischen Punkt $P$ und dem Spiegelpunkt $S$.

  3. Der Kreis schneidet die zuvor gezeichnete Gerade in zwei Punkten: Ein Schnittpunkt ist der Punkt $P$ und der andere Schnittpunkt ist der Bildpunkt $P'$.

Mit den Übungsaufgaben kannst du dein Wissen zur Punktspiegelung überprüfen. Viel Erfolg dabei!

Lückentext
Sortiere die Vorgehensweise!
Der Kreis schneidet die zuvor gezeichnete Gerade in zwei Punkten, von denen einer der Bildpunkt und der andere der zu spiegelnde Punkt ist.

Eine lange Gerade durch den Punkt und den Spiegelpunkt ziehen. 

Einen Kreis um den Spiegelpunkt zeichnen. Der Radius muss die Länge des Abstandes zwischen dem Spiegelpunkt und dem zu spiegelnden Punkt haben.


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