Zwei lineare Funktionen - Schnittpunkt berechnen

Wenn wir mehrere Funktionen in ein Koordinatensystem eintragen, können wir feststellen, dass sich diese manchmal in einem Punkt schneiden. Im folgenden Kapitel wollen wir uns den Schnittpunkt von zwei linearen Funktionen anschauen und die Methode, wie du diesen berechnen kannst, erklären.

Zwei Funktionen schneiden sich

Wenn wir zwei verschiedene Funktionen in ein Koordinatensystem eintragen, dann ist es möglich, dass sich diese schneiden. Wir sehen das in den folgenden Abbildung:

Zwei Abbildungen zweier linearer Funktionen, die sich schneiden

In der rechten Abbildung können wir den Schnittpunkt direkt ablesen. Er liegt bei $S(1/1)$.
Den Schnittpunkt im linken Bild können wir jedoch durch Ablesen nicht genau bestimmen. Wir müssen ihn daher rechnerisch ermitteln. Zur Berechnung eines Schnittpunktes zweier linearer Funktionen gibt es eine genaue Methode:

Wie berechnet man den Schnittpunkt zweier linearer Funktionen?

Im ersten Schritt der Methode setzen wir die beiden Funktionen gleich. Das machen wir, weil sich die Funktionen den Schnittpunkt teilen, er liegt auf beiden Funktionen. Die x und y-Werte beider Funktionen sind an dieser Stelle also gleich.

Im zweiten Schritt lösen wir dann nach x auf und schreiben alle x-Werte auf eine, alle Zahlenwerte auf die andere Seite des Gleichheitszeichens. Der berechnete x-Wert wird dann in eine der Funktionen eingesetzt, um die y-Koordinate zu erhalten.

Der vierte Schritt ist die Probe, bei der wir die x- und y-Koordinate in beide Funktionen einsetzen und die beiden Werte auf ihre Richtigkeit prüfen.

Beispielaufgabe - Wie bestimme ich den Schnittpunkt zweier Geraden?

Die beiden Funktionen $\textcolor{green}{ f(x) = 2\cdot x + 3}$ und $\textcolor{red}{g (x) = 0,5\cdot x + 5}$ sind gegeben und ihr Schnittpunkt soll bestimmt werden.

Abbildung zwei lineare Funktionen mit Schnittpunkt

1. Funktionsgleichungen gleichsetzen:

$\textcolor{green}{ f(x) = 2\cdot x + 3}$
$\textcolor{red}{ g(x) = 0,5\cdot x + 5}$

$ \textcolor{green}{2\cdot x + 3} = \textcolor{red}{0,5\cdot x + 5}$

Wir setzen die beiden Gleichungen gleich, da wir den Punkt herausfinden möchten, den beide Funktionen miteinander gemeinsam haben.

2. X-Wert ermitteln:

Wir rechnen mit den gleichgesetzten Gleichungen weiter und formen die Gleichung so um, dass $x$ nur auf einer Seite steht.
$ 2\cdot x + 3 = 0,5\cdot x + 5$                                    $|-0,5\cdot x$
$ 2\cdot x -0,5\cdot x + 3 = 0,5\cdot x-0,5\cdot x + 5$ 
$ 1,5\cdot x + 3 = 5$

Alle x-Werte stehen jetzt auf der linken Seite des Gleichheitszeichens. Die Zahlenwerte auf der linken Seite müssen jetzt noch auf die rechte Seite des Gleichheitszeichens gebracht werden. Es ergibt sich:

$ 1,5\cdot x + 3 = 5$       $|-3$
$ 1,5\cdot x  = 2$

Da wir aber nicht 1,5 von $x$ suchen, sondern nur ein $x$, müssen wir die Gleichung noch durch $1,5$ teilen, um auf den gesuchten x-Wert zu kommen:

$ 1,5\cdot x = 2$               $|:1,5$
$x = \frac {2}{1,5} = \frac {4}{3} \approx 1,33$

3. Y-Wert des Schnittpunkts durch Einsetzen ermitteln:
Den x-Wert des Schnittpunkts haben wir schon berechnet. Um den dazugehörigen y-Wert auszurechnen, müssen wir den x-Wert einfach in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzen:

$\textcolor{green}{ f(x) = 2\cdot x + 3} $
$f(\frac{4}{3}) = 2\cdot \frac {4}{3} + 3 = \frac {17}{3}$

$\rightarrow S(\frac{4}{3}/\frac{17}{3})$

Wichtig ist dabei, dass wir mit den genauen Zahlen, also den Brüchen rechnen, um Rundungsfehler zu vermeiden.

4. Probe:
Wir können ganz leicht überprüfen, ob wir uns an einer Stelle verrechnet haben.
Dafür setzen wir den x-Wert in die andere Gleichung ein und überprüfen, ob wir den gleichen y-Wert erhalten.

$\textcolor{red}{ g (x) = 0,5\cdot x + 5}$
$g (\frac{4}{3}) = 0,5 \cdot \frac{4}{3} + 5 = \frac{17}{3} \approx 5,67$

Mit den Übungsaufgaben kannst du überprüfen, ob du die Vorgehensweise richtig verstanden hast. Viel Erfolg dabei!