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Steigung einer linearen Funktion bestimmen - So geht's!

Video: Steigung einer linearen Funktion bestimmen - So geht's!

Die Steigung einer linearen Funktion ist an jedem Punkt gleich. In der allgemeinen Form können wir die Steigung direkt ablesen:

Hinweis

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$f(x) = y = \textcolor{BrickRed}{m} \cdot x +n$

$\textcolor{BrickRed}{Steigung = m}$

Wie erkennt man die positive und negative Steigung linearer Funktionen?

Die Steigung kann sowohl positiv als auch negativ sein. Dies kann man bei einer gegebenen Funktionsgleichung, anhand des Vorzeichens vor der Steigung, ablesen. Bei einem gegebenen Funktionsgraphen verläuft die Gerade steil nach oben bei positiver Steiung und steil nach unten bei negativer Steigung.

Positive Steigung

Bei positiver Steigung wird der y-Wert größer, wenn der x-Wert größer wird. Damit sieht der Graph so aus:

positive-steigung
Graph einer linearen Funktion mit positiver Steigung

Lineare Funktionen mit positiver Steigung verlaufen von unten links nach oben rechts.

Negative Steigung

Bei einer negativen Steigung ist das anders herum. Je größer die x-Werte werden, desto kleiner werden die y-Werte. Der Graph verläuft dann von oben links nach unten rechts:

negative-steigung
Graph  mit negativer Steigung

Lineare Funktionen mit negativer Steigung verlaufen von oben links nach unten rechts.

Es gibt verschiedene Arten von Aufgabentypen, in denen die Steigung ermittelt werden soll. So kann zum Beispiel das Bild eines Graphen, zwei Punkte oder ein Winkel gegeben sein. Bei allen drei Arten müssen wir andere Methoden zum Errechnen der Steigung anwenden.

Wie bestimme ich die Steigung einer linearen Funktion mit dem Steigungsdreieck?

Wir haben das Bild eines Graphen gegeben und sollen daraus die Steigung ermitteln. Die einfachste Art die Steigung zu bestimmen, ist ein sogenanntes Steigungsdreieck einzuzeichnen.

Methode

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Vorgehensweise

  1. Zwei Punkte auf der Funktionsgeraden einzeichnen
  2. Steigungsdreieck einzeichnen
  3. Höhen- und Längenunterschied ermitteln
  4. Steigung berechnen, indem der Höhenunterschied durch den Längenunterschied geteilt wird

Beispielaufgabe - Steigungsdreieck anwenden

Wir bestimmen die Steigung des Graphen. Drucke dir das Bild am besten aus, und versuche zuerst alleine die Punkte der Vorgehensweise abzuarbeiten.

1. Zwei Punkte einzeichnen:

steigungsdreick-1a
Abbildung Punkte einzeichnen

Wir können beliebige Punkte auf dem Graphen markiert. Es ist jedoch einfacher, wenn die Punkte ganze $x-$ und $y-Werte$ haben.

2. Steigungsdreieck einzeichnen:

steigungsdreick-2
Abbildung Steigungsdreieck einzeichnen

Wir bilden mit dem Graphen und den zwei markierten Punkten ein Dreieck. Dabei entsteht ein Hilfspunkt $D$, an dem ein rechter Winkel liegt.

3. Höhen- und Längenunterschied bestimmen:

$\textcolor{orange}{Höhenunterschied = y_A - y_B = 6 - 2 = 4}$
$\textcolor{blue}{Längenunterschied = x_A -x_B = (-4) - 4 = -8} $

4. Steigung berechnen:

$Steigung = \frac{\textcolor{orange}{Höhenunterschied}}{\textcolor{blue}{Längenunterschied}} =  \frac{\textcolor{orange}{y_A - y_B}}{\textcolor{blue}{x_A - x_B}} = \frac{4}{-8} = -0,5$

Wie bestimmt man die Steigung einer linearen Funktion mit zwei Punkten?

Mit zwei Punkten können wir die Steigung direkt berechnen, indem wir die x-Werte und y-Werte in die folgende Formel einsetzen:

Merke

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$m = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B}$ ,wobei wir den größeren bzw. höher liegenden Punkt als $P ({X_A / Y_A})$ wählen.

Methode

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Vorgehensweise
1. Die beiden x und y-Werte ablesen
2. x und y-Werte in die Formel einsetzen
3. Steigung mit Hilfe der Formel berechnen

Steigung mit zwei Punkten bestimmen - Beispielaufgabe

$P(3/2)$, $Q(9/4)$

1. $x_1=3, ~~~x_2=9$
    $y_1=2, ~~~~y_2=4$

Achte beim Ablesen der Werte darauf, dass du diese nicht vertauschst, damit kein Vorzeichenfehler entsteht und du die falsche Steigung bestimmst.

2. $m = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}$

    $m = \frac{4 - 2}{9 - 3}$
   
3. $m = \frac{2}{6}$
    $m = \frac{1}{3}$

Wie berechnent man die Steigung einer linearen Funktion mit einem Winkel?

Hierbei müssen wir den Winkel, der zwischen der Funktion und der $x-Achse$ entsteht, in eine Formel einsetzen.

Merke

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$m = tan ( \alpha)$

Methode

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Vorgehensweise:
1. Den Winkel ablesen
2. Winkel in die Formel einsetzen
3. Steigung ausrechnen

Steigung mit Hilfe des Winkels bestimmen - Beispielaufgabe

Der Winkel, den eine Straße ansteigt, beträgt $27 ^\circ$. Wie groß ist die Steigung der Straße?

  1. Winkel : $27 ^\circ$
    2. $m = tan ( \alpha) = tan(27^\circ) $
    3. $m = tan (27^\circ) \approx 0,5 $

 

Mit den Übungsaufgaben kannst du überprüfen, ob du alles richtig verstanden hast. Viel Erfolg dabei!

Multiple-Choice
Berechne die Steigung der Funktion, die einen Winkel von $45^\circ$ zur x-Achse hat.
0/0
Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.