Satz des Thales anwenden - Mit Übungen einfach erklärt

Satz des Thales - Definition

Der Satz des Thales ist einer der ältesten Sätze der Mathematik. Er besagt, dass alle Winkel in einem Halbkreisbogen rechtwinklig sind. Genau gesagt bedeutet das: Ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises (Thaleskreis) und einem weiteren Punkt dieses Halbkreises, ergibt immer ein rechtwinkliges Dreieck. Schauen wir uns dies an einer Skizze an.

Der Thaleskreis - Erklärung

Der Thaleskreis ist eigentlich nichts anderes als ein Halbkreis, der durch den Durchmesser getrennt wird. Da der rechte Winkel immer gegenüber von dem Durchmesser ist, ist dieser immer die Hypotenuse des gebildeten rechtwinkligen Dreiecks.

Satz des Thales - Der Beweis 

Abbildung Skize Beweis Thalessatz

Vom Mittelpunkt zum Punkt D ziehen wir eine Hilfslinie und haben nun drei Dreiecke:

1. Dreieck: Eckpunkte $B, C$ und $D$
2. Dreieck: Eckpunkte $B, D$ und Mittelpunkt
3. Dreieck: Eckpunkte $C, D$ und Mittelpunkt

Schauen wir uns nun die Dreiecke an. Unser Ziel ist es zu beweisen, dass $\alpha = 90 ^\circ $ ist.
Schauen wir uns das große Dreieck BCD mit der Linie vom Mittelpunkt zum Punkt D an. Wir sehen, dass durch die Linie zwei gleichschenklige Dreiecke gebildet werden. Die drei Schenkel sind alle so groß wie der Radius. Aus diesem Grund sind die Winkel $\beta$ und $\beta_1$ gleich groß und auch $\gamma$ und $\gamma_1$.

Wenden wir die Regel der Größe der Innensummen auf unsere Aufgabe an. Dann ist also $\alpha+\beta+\gamma_1 = 180^\circ$.

Da $\textcolor{red}{\alpha = \beta_1 + \gamma}$ können wir dies in die obere Formel einsetzten, dann erhalten wir:

$\textcolor{red}{\alpha}+\beta+\gamma_1 = \textcolor{red}{\beta_1 + \gamma} +\beta+\gamma_1 = 180^\circ$

Da $\beta$ und $\beta_1$, $\gamma$ und $\gamma_1$ den gleichen Betrag haben, können wir dies weiter umformen in:

$2\cdot (\beta+ \gamma) = 180^\circ$     $|:2$

$\beta + \gamma = 90^\circ$

Da die Winkel $\beta$ und $\gamma$ zusammen den Winkel $\alpha$ ergeben, können wir nun sagen, dass $\alpha=90^\circ$.

$\textcolor{red}{\alpha = \beta + \gamma}$

$\alpha = 90^\circ$

Damit haben wir schon bewiesen, dass $\alpha$ immer $90^\circ$ groß sein muss.

Satz des Thales anwenden - Beispielaufgabe

Ein Mädchen steht mitten auf einem exakt kreisförmig zugefrorenem See. Der See hat einen Durchmesser von $10 m$. Ein paar Meter vom See entfernt steht der Hund des Mädchens. Wie weit genau ist der Hund vom See entfernt?

Abbidlung Mädchen, See und Hund

Diese Aufgabe kann mit dem Satz des Thales gelöst werden. Dafür zeichnen wir einen Kreis, bei dem die Kreislinie sowohl durch den Hund als auch durch das Mädchen läuft.

Abbildung mit Kreis

Nun haben wir einen Kreis, dessen Durchmesser gleich groß ist, wie der Abstand zwischen dem Mädchen und dem Hund.

Jetzt können wir ein Dreieck einzeichnen und dann mit Hilfe der Winkelfunktionen die Größe der Hypotenuse bestimmen. Unsere drei Winkelfunktionen, Sinus, Kosinus und Tangens, sind wie folgt definiert:

Abbildung Kreis mit Angaben

Nun haben wir ein Dreieck, wobei wir die Gegenkathete (Radius des Sees) und den Winkel gegeben haben.

Wir kennen den Radius des kleinen Kreises. Er ist $5m$ breit. Den Winkel haben wir ausgemessen. Nun müssen wir nur noch die Länge der Hypotenuse mit Hilfe von Sinus, Kosinus oder Tangens bestimmen. Da wir die Hypotenuse suchen und die Gegenkathete und den Winkel gegeben haben, rechnen wir mit dem Sinus.

$sin(\alpha)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$

$sin(13,82^\circ)=\frac{5m}{x}$

$x=\frac{5m}{sin(13,82^\circ)}\approx 20,93m$

Nun müssen wir nur noch den Radius abziehen und erhalten die Entfernung zwischen dem Hund und dem See.

$20,93m-5m=15,93    \rightarrow$ Der Hund ist ca. 16 m vom See entfernt.

Teste dein neu erlerntes Wissen zum Satz des Thales und dessen Beweis mit unseren Übungsaufgaben! Wir wünschen dir viel Erfolg!