Wie berechnet man Oberfläche und Volumen eines Zylinders?
Der Zylinder ist ein geometrischer Körper, der laut Definition aus zwei kongruenten, parallelen Kreisflächen und einer Mantelfläche besteht. Die beiden Kreisflächen heißen Grund- und Deckfläche. Wichtige Größen des Zylinders sind der Radius der Grund- und Deckfläche sowie die Höhe der Mantelfläche.
Geometrische Körper - Eine Übersicht
Neben dem Zylinder gibt es noch eine Vielzahl weiterer geometrischer Körper. Über die Begriffe gelangst du zu ihren Seiten. Schau doch mal rein.
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Wie ist ein Zylinder aufgebaut?
Nun schauen wir uns den Zylinder und seine Bestandteile einmal genauer an.
Du kannst den Zylinder in Grund-, Deck- und Mantelfläche zerlegen, indem du ihn ausrollst. Probier es selbst aus!
Zylinder - Grund- und Deckfläche berechnen
Die Grund- und Deckfläche sind bei Zylindern immer kreisförmig und gleich groß. Die Berechnung dieser Flächen folgt also den Regeln zur Berechnung der Fläche von Kreisen.
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Formel zur Berechnung der Grund- und Deckfläche eines Zylinders
$A_{Grundfläche} = A_{Deckfläche} = \pi \cdot r^2$
Beispiel
Wie groß sind Grund- und Deckfläche eines Zylinders, dessen Radius $6~cm$ beträgt?
$A = \pi \cdot (6~cm)^2 = \pi \cdot 36~cm^2 \approx 113,1~cm^2$
Zylinder - Mantelfläche berechnen
Rollen wir die Mantelfläche ab, erhalten wir ein Rechteck. Die Fläche dieses Rechtecks können wir berechnen, indem wir die Breite mal die Höhe rechnen. Die Breite dieser Fläche entspricht dem Umfang des Kreises der Grund- bzw. Deckfläche. Diese kannst du mit folgender Formel berechnen:
$U_{Grundfläche} = 2 \cdot \pi \cdot r$
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Mantelfläche eines Zylinders
$A_{Mantelfläche} = U \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h$
Für die Berechnung der Mantelfläche benötigst du also immer zwei Angaben: den Radius und die Höhe.
Beispiel
Wie groß ist die Mantelfläche eines Zylinders, dessen Radius $4~cm$ und dessen Höhe $7~cm$ beträgt?
$A = U \cdot h = 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h = 2\cdot \pi \cdot 4~cm \cdot 7~\cdot \approx 175,9$
Zylinder - Oberfläche berechnen
Die Oberfläche eines Zylinders setzt sich aus den beiden Kreisflächen (Grund- und Deckfläche) und aus der Mantelfläche zusammen. Wir müssen also die Flächen dieser einzelnen Bestandteile miteinander addieren. Da Grund- und Deckfläche gleich sind, können wir diese zusammenfassen.
Merke
Formel zur Berechnung der Oberfläche eines Zylinders
$O = 2\cdot Grundfläche + Mantelfläche = (2\cdot \pi \cdot r^2) + (2 \cdot \pi \cdot r \cdot h)$
Beispiel
Wie groß ist die Oberfläche eines Zylinders, dessen Radius $2~cm$ und dessen Höhe $5~cm$ beträgt?
$O = (2\cdot \pi \cdot (2~cm)^2) + (2 \cdot \pi \cdot 2~cm \cdot 5~cm) \approx 88~cm^2$
Zylinder - Volumen berechnen
Das Volumen eines Zylinders errechnet sich aus dem Produkt der Grundfläche mit der Höhe. Wir ziehen sozusagen die Grundfläche der Höhe entlang einmal durch den kompletten Zylinder.
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Volumenformel eines Zylinders
$V = Grundfläche \cdot Höhe = \pi \cdot r^2 \cdot h$
Beispiel
Wie groß ist das Volumen eines Zylinders, dessen Radius $3~cm$ und dessen Höhe $8~cm$ beträgt?
$V = \pi \cdot (3~cm)^2 \cdot 8~cm \approx 226,2$
Nun kannst du verschiedene Größen am Zylinder berechnen. Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben. Wir wünschen dir viel Erfolg dabei!
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