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Satz des Pythagoras anwenden: Textaufgabe mit Lösung

Geometrie
Satzgruppe des Pythagoras

Video: Satz des Pythagoras anwenden: Textaufgabe mit Lösung

Der Satz des Pythagoras ist nicht nur in Dreiecken hilfreich. Wir werden jetzt sehen, dass wir die eben gelernte Formel auch bei Vierecken anwenden können.

Satz des Pythagoras - Beispielaufgabe 

Schauen wir uns gemeinsam folgendes Problem an. Wir haben ein Viereck mit einer unbekannten Seitenlänge $b$.

Viereck mit zwei rechten Winkeln.
Viereck mit zwei rechten Winkeln.

Wie du in der Abbildung erkennen kannst, lässt sich das gegebene Viereck in zwei rechtwinklige Dreiecke zerschneiden. Wie schon bei den Dreiecks-Aufgaben fehlt eine Seitenlänge des Vierecks. Die Seiten $a$, $c$ und $d$ sind gegeben.

Um also $b$ zu berechnen reicht uns eigentlich das rechte Dreieck $BCD$. Allerdings fehlen uns in diesem Dreieck zwei Seitenlängen, nämlich die unbekannte Länge $b$ und die Länge der gezogen Trennlinie ($h$). Der Satz des Pythagoras bringt uns an dieser Stelle nicht weiter. Unsere einzige Möglichkeit ist zunächst das linke Dreieck zu betrachten. Auch hier ist die Länge der Trennlinie unbekannt. Im Gegensatz zur rechten Hälfte sind uns aber die beiden anderen Seitenlängen bekannt, sodass wir die Länge der Trennlinie ($h$) berechnen können.

Zerschnittenes Viereck.
zerschnittenes Viereck

Beispielaufgabe lösen - So geht's!

Berechnen wir also zunächst die Länge von $h$ im Dreieck $ABD$. Dieses Beispiel ist besonders einfach, da die gesuchte Länge die Hypotenuse ist, also gegenüber des rechten Winkels liegt. Wir müssen den Satz des Pythagoras also gar nicht umstellen, sondern rechnen direkt mit den Quadraten der Katheten $a$ und $d$.

$a^2 + d^2 = h^2$

$(12 cm)^2 + (9 cm)^2 = h^2$

$225 cm^2 = h^2$    | $\sqrt[]{}$

$\sqrt[]{225cm^2} = h$

$h = 15 cm$

Wir kennen jetzt die Länge der Trennlinie $h$ und haben im rechten Dreieck $BCD$ nur noch eine unbekannte Seite. In diesem Fall ist die unbekannte Seitenlänge $b$ jedoch eine der Katheten, sodass wir den Satz des Pythagoras zunächst umformen müssen:

$b^2 + c^2 = h^2$    | $-c^2$

$b^2 = h^2 - c^2$     |$\sqrt[]{}$

$b = \sqrt[]{(15 cm)^2 - (5 cm)^2}$

$b \approx 14,14 cm$

Der Satz des Pythagoras kann also auch bei Vielecken (mehreckigen Figuren) angewendet werden. Das Prinzip ist dabei immer dasselbe: Wir zerlegen die Figur in möglichst wenige, rechtwinklige Dreiecke und rechnen dann nacheinander alle unbekannten Größen aus.

Merke

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Der Satz des Pythagoras kann also auch bei Vielecken (mehreckigen Figuren) angewendet werden. Das Prinzip ist dabei immer dasselbe: Wir zerlegen die Figur in möglichst wenige, rechtwinklige Dreiecke und rechnen dann nacheinander alle unbekannten Größen aus.

In den Übungsaufgaben kannst du jetzt dein neues Wissen testen. Viel Erfolg dabei!

Multiple-Choice
In welche Teilfiguren sollte man größere geometrische Figuren zerlegen, um den Satz des Pythagoras anwenden zu können?
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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.