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Lineare Gleichungssysteme: Koeffizienten einfach erklärt

Video: Lineare Gleichungssysteme: Koeffizienten einfach erklärt

Lineare Gleichungssysteme (LGS) können sowohl mittels Einsetzungsverfahren oder Additionsverfahren rechnerisch als auch zeichnerisch gelöst werden. Bevor wir aber überhaupt mit dem Lösen des Gleichungssystems beginnen, können wir bereits Aussagen über die Lösungsmenge machen. Dazu müssen wir uns die Koeffizienten des Systems anschauen. Die Koeffizienten des Gleichungssystems sind die Zahlen, die als Faktor vor den Variablen $x$ und $y$ stehen.

Beispiel

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$\textcolor{red}{Koeffizienten}~in~linearen~Gleichungssystemen$

$I:~y~=~\textcolor{red}{6}~\cdot x - 5$

$II:~y~=~\textcolor{red}{4}~ \cdot x + 3$

Lineare Gleichungssysteme - Koeffizienten und absolute Glieder

Um nun direkt ablesen zu können, wie viele Lösungen das Gleichungssystem hat, behelfen wir uns damit, dass eine Gleichung eines linearen Gleichungssystems als lineare Geradengleichung gelesen werden kann, da sie zwei unterschiedliche Variablen enthält.

So entspricht der Koefffizient von $x$ der Steigung (m) der Geraden. Die Zahl, die ohne Variable steht, heißt absolutes Glied und entspricht dem y-Achsenabschnitt (n).

Beispiel

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$\textcolor{red}{Koeffizienten}~und~\textcolor{green}{absolute~Glieder}~in~linearen~Gleichungssystemen$

$I:~y~=~\textcolor{red}{6}~\cdot x \textcolor{green}{- 5}$

$II:~y~=~\textcolor{red}{4}~ \cdot x \textcolor{green}{+ 3}$

$\textcolor{red}{Koeffizienten}~und~\textcolor{green}{absolute~Glieder}~bei~linearen~Geradengleichungen$

$y~=~\textcolor{red}{m} \cdot x \textcolor{green}{+ n}$

Merke

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Es gibt drei mögliche Lösungsmengen für ein lineares Gleichungssystem:

  • Das LGS besitzt genau eine Lösung, wenn die Steigungen unterschiedlich sind. $(m_1 \neq m_2)$
  • Das LGS besitzt keine Lösung, wenn die Steigungen gleich sind, die y-Achsenabschnitte aber verschieden. $(m_1 = m_2$ und $n_1 \neq n_2)$
  • Das LGS besitzt unendlich viele Lösungen, wenn sowohl die Steigungen als auch die y-Achsenabschnitte geich sind. $(m_1 = m_2$ und $n_1 = n_2)$

Entsprechend diesen drei Möglichkeiten können wir drei Aufgabentypen unterscheiden.

Eine Lösung - fehlende Koeffizienten berechnen

Für welchen Koeffizienten von $x$ hat das lineare Gleichungssystem genau eine Lösung?

$I:~~y~=~$___$~ \cdot x + 9$

$II:y~=5\cdot x - 3$

Das Gleichungsystem hat nur dann eine Lösung, wenn die Steigungen (also der $x$-Koeffizient) unterschiedlich sind. Wir dürfen für den fehlenden Koeffizienten also jede Zahl außer $5$ einsetzen.

Beispiel

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Dieses lineare Gleichungssystem besitzt genau eine Lösung:

$I:~~y~=~3~\cdot x + 9$

$II:y~=5\cdot x - 3$

Keine Lösung - fehlende Koeffizienten berechnen

Für welchen Koeffizienten von $x$ besitzt das lineare Gleichungssystem keine Lösung?

$I:~~y~=~$___$~\cdot x + 9$

$II:y~=5\cdot x - 3$

Das Gleichungssystem hat keine Lösung, wenn die Gleichungen dieselbe Steigung ($x$-Koeffizient) haben, aber einen unterschiedlichen y-Achsenabschnitt (absolutes Glied). Der gesuchte Koeffizient muss also $5$ sein.

Beispiel

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Dieses lineare Gleichungssystem besitzt keine Lösung:

$I:~~y~=~5~\cdot x + 9$

$II:y~=5\cdot x - 3$

Unendlich viele Lösungen - Absolutes Glied berechnen 

Welchen Wert muss das absolute Glied besitzen, damit das lineare Gleichungssystem unendlich viele Lösungen hat?

$I:~~y~=~5\cdot x + 9$

$II:y~=5\cdot x + $____

Das Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen, wenn sowohl die Steigung ($x$-Koeffizient) als auch der y-Achsenabschnitt (absolutes Glied) gleich sind.

Beispiel

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Dieses lineare Gleichungssystem besitzt unendlich viele Lösungen:

$I:~~y~=~5\cdot x + 9$

$II:y~=5\cdot x + 9$

Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben! Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!

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