pq Formel - Aufgaben und Herleitung

Die pq Formel ist eine Möglichkeit, eine quadratische Gleichung in wenigen Schritten nach der Unbekannten $x$ umzustellen und somit zu lösen. Quadratische Gleichungen besitzen die allgemeine Form

$a \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0$.

Dabei gilt, dass $a \neq 0$ ist.

Die unbekannte Zahl $x$ taucht gleich zweimal in der Gleichung auf. Einmal in einfacher Form und einmal mit zwei potenziert. Die Koeffizienten a, b und c stehen für Zahlen.

Quadratische Gleichung - Die Normalform

Um die pq Formel anwenden zu können, muss die quadratische Gleichung in ihrer Normalform vorliegen. Die Normalform ist definiert durch $a = 1$.

$1 \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0$       $x^2 + b \cdot x + c = 0$

Um die pq Formel anwenden zu können, darf also kein Faktor vor dem $x^2$ stehen. Da dies in den meisten Aufgaben nicht gegeben ist, musst du die quadratische Gleichung meist erst in ihre Normalform umwandeln. Dies geht ganz einfach, indem du durch den Faktor vor dem $x^2$ teilst:

$\textcolor{blue}{a} \cdot x^2 + b \cdot x + c = 0$   | : a

$ x^2 + \frac{b}{\textcolor{blue}{a}} \cdot x + \frac{c}{\textcolor{blue}{a}} = 0$

Die beiden Brüche werden durch die Variablen $p$ und $q$ ersetzt:

$\frac{b}{\textcolor{blue}{a}} = \textcolor{red}{p}$

$\frac{c}{\textcolor{blue}{a}} = \textcolor{orange}{q}$

Daraus ergibt sich die Normalform:

$x^2 +  \textcolor{red}{p} \cdot x + \textcolor{orange}{q} = 0$

Wie kann man die pq Formel herleiten?

Um von der Normalform auf die pq Formel zu kommen, wird die quadratische Gleichung mit Hilfe von Äquivalenzumformungen, der quadratischen Ergänzung und den binomischen Formeln nach $x$ umgestellt.

$x^2 + \textcolor{red}{p} \cdot x + \textcolor{orange}{q} = 0  | -\textcolor{orange}{q}$

$x^2 + \textcolor{red}{p} \cdot x = - \textcolor{orange}{q}$ | $+ (\frac{ \textcolor{red}{p}}{2})^2 $ (quadratische Ergänzung)

$x^2 + \textcolor{red}{p} \cdot x + (\frac{ \textcolor{red}{p}}{2})^2 = (\frac{ \textcolor{red}{p}}{2})^2 - \textcolor{orange}{q}$

Um mit dem Term weiterzurechnen, müssen wir die linke Seite so umschreiben, dass wir dort die 1. binomische Formel anwenden können.

$x^2 + \textcolor{red}{p} \cdot x + (\frac{ \textcolor{red}{p}}{2})^2 = (\frac{ \textcolor{red}{p}}{2})^2 - \textcolor{orange}{q}$ | Umformung

$x^2 + 2\cdot (\frac{\textcolor{red}{p}}{2}) \cdot x + (\frac{ \textcolor{red}{p}}{2})^2 = (\frac{ \textcolor{red}{p}}{2})^2 - \textcolor{orange}{q}$ | Anwendung der ersten binomischen Formel

$ (x + \frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2 = (\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2 - \textcolor{orange}{q} | \pm \sqrt{}$

$x + \frac{\textcolor{red}{p}}{2} = \pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2 - \textcolor{orange}{q}} | -\frac{\textcolor{red}{p}}{2}$

$x = -\frac{\textcolor{red}{p}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2-\textcolor{orange}{q}}$

Die pq Formel anwenden: Übung mit Lösung

Betrachten wir folgende quadratische Gleichung:

$3 \cdot x^2 - 6\cdot x - 24 = 0$

Die Gleichung liegt nicht in der Normalform vor. Wir müssen also zunächst durch den Faktor, der vor dem $x^2$ steht, teilen.

$3 \cdot x^2 - 6\cdot x - 24 = 0$   | $:3$

$x^2 - 2\cdot x - 8 = 0$

Die quadratische Gleichung liegt nun in der Normalform vor und wir können die pq Formel anwenden.

$x^2 + \textcolor{red}{p} \cdot x + \textcolor{orange}{q} = 0$ $~~~~~~~~~~~~~~~~\rightarrow$   $x^2 \textcolor{red}{-2}\cdot x \textcolor{orange}{-8} = 0$

$x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{p}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{p}}{2})^2-\textcolor{orange}{q}}$  $~~~~~~~~\rightarrow$  $x_{1/2} = -\frac{\textcolor{red}{-2}}{2}\pm \sqrt{(\frac{\textcolor{red}{-2}}{2})^2-\textcolor{orange}{-8}}$

Wir erhalten für $x$ folgende Werte:

$x_1 = - 2~~~~~~~~~x_2 = 4$

Anzahl der Lösungen einer quadratischen Gleichung

Eine quadratische Gleichung kann unterschiedlich viele Lösungen haben. Man unterscheidet zwischen:

• zwei reellen Lösungen

• einer reellen Lösung

• keiner Lösung

Wie viele Lösungen die quadratische Gleichung hat, hängt von dem Term unterhalb der Wurzel in der pq Formel ab.

Schauen wir uns nun die drei Fälle der Diskriminanten an. Wir geben dir zu den Lösungsarten der pq Formel Beispiele an die Hand, damit du dir dieses neue Wissen leichter einprägen kannst:  

1. Diskriminante ist größer als null ($D~>~0$)

Ist die Diskriminante größer als null, ergibt die pq Formel zwei reelle Zahlen als Lösung.

2. Die Diskriminante ist gleich null ($D = 0$)

Wenn die Diskriminante null ist, erhalten wir nur eine reelle Lösung.

3. Die Diskriminante ist kleiner als null ($D~<~0$)

Wenn die Diskriminante kleiner als null ist, ist der Wert unterhalb der Wurzel eine negative Zahl. Die Wurzel von negativen Zahlen zu errechnen ist mathematisch jedoch nicht möglich. Die quadratische Gleichung besitzt dann keine reelle Lösung.

Nun kennst du die pq Formeln und weißt, wie du sie anweden kannst. Dein neu erlerntes Wissen kannst du nun noch an unseren Aufgaben zur pq Formel testen! Viel Erfolg dabei!