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Wie funktioniert das Subtrahieren von Potenzen?

Zahlenlehre und Rechengesetze
Potenzen und Potenzgesetze

Video: Wie funktioniert das Subtrahieren von Potenzen?

Auf dieser Lernseite beschäftigen wir uns mit der Frage wie Potenzen einer Differenz weiter zusammengefasst werden können.

Subtraktion von Potenzen - Gibt es Rechenregeln?

Die Differenz zweier normaler Potenzen, wie sie im unteren Beispiel angegeben sind, lässt sich nicht weiter vereinfachen. Wir können das Ergebnis nur berechnen, indem wir die einzelnen Potenzen auflösen und dann voneinander abziehen.

Beispiel

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$4^5 - 3^3 = (4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4) - (3 \cdot 3 \cdot 3) = 1024 - 27 = 997$

Die Differenz der Potenzen kann nicht weiter zusammengefasst werden. Um das Ergebnis zu berechnen, berechnen wir zunächst die Potenzwerte der beiden Potenzen und subtrahieren diese dann voneinander.

Subtraktion von Potenzen - So geht's!

Die Differenz von Potenzen lässt sich nur unter folgenden Voraussetzungen zusammenfassen:

  • Die Basen der Potenzen sind gleich.
  • Die Exponenten der Potenzen sind gleich.

Sind diese Bedingungen erfüllt, kannst du die Differenz vereinfachen, indem du die Koeffizienten der Potenzen subtrahierst. Als Koeffizient bezeichnet man die Zahl vor der Potenz.

Merke

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Die Differenz zweier Potenzen kann zusammengefasst werden, indem die Koeffizienten subtrahiert werden.

$\textcolor{blue}{a} \cdot \textcolor{green}{x^n} - \textcolor{red}{b} \cdot \textcolor{green}{x^n} = (\textcolor{blue}{a} - \textcolor{red}{b}) \cdot \textcolor{green}{x^n}$

Potenzen subtrahieren - Beispiele

Beispiel

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$3 \cdot 2^4 - 2 \cdot 2^4 = (3 - 2) \cdot 2^4 = 1 \cdot 2^4 = 2^4 = 16$

$4 \cdot x^4 - 2 \cdot x^4 = (4 - 2) \cdot x^4 = 2 \cdot x^4$

$5 \cdot x^2 - 2\cdot x^2 = (5 - 2) \cdot x^2 = 3 \cdot x^2$

$4 \cdot x^6 - 10 \cdot x^6 = (4 - 10) \cdot x^6 = -6 \cdot x^6$

In folgendem Beispiel taucht eine Potenz auf, die auf den ersten Blick keinen Koeffizienten besitzt. Steht vor der Potenz kein Koeffizient, ist der Koeffizient immer die Zahl $1$.

$8 \cdot x^3 -  x^3 = 8 \cdot x^3 - 1\cdot x^3 = (8 - 1) \cdot x^3 = 7 \cdot x^3$

$12 \cdot x^5 - 4 \cdot x^5 - x^5 = 12 \cdot x^5 - 4 \cdot x^5 - 1 \cdot x^5 = (12 - 4 - 1) \cdot x^5 = 7 \cdot x^5$

Zusammenfassen der Differenzen von Potenzen - Wann geht es nicht?

1. Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten

$3^\textcolor{red}{9} - 3^\textcolor{red}{4}$

$a^\textcolor{red}{m} - a^\textcolor{red}{n} ~~~~ \rightarrow{\textcolor{red}{NICHT~MOEGLICH}}$

2. Potenzen mit unterschiedlichen Basen

$\textcolor{red}{5}^2 - \textcolor{red}{3}^2$

$\textcolor{red}{a}^n - \textcolor{red}{b}^n ~~~~ \rightarrow{\textcolor{red}{NICHT~MOEGLICH}}$

3. Potenzen mit unterschiedlichen Exponenten und unterschiedlichen Basen

$\textcolor{red}{12}^\textcolor{orange}{2} - \textcolor{red}{4}^\textcolor{orange}{3}$

$\textcolor{red}{a}^\textcolor{orange}{n} - \textcolor{red}{b}^\textcolor{orange}{m} ~~~~ \rightarrow{\textcolor{red}{NICHT~MOEGLICH}}$

Teste dein neu erlerntes Wissen zur Subtraktion von Potenzen mit unseren Übungsaufgaben! Wir wünschen dir dabei viel Erfolg und Spaß!