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Merke

Ein statistischer Test der geeignet ist eines von den zwei Ergebnissen "$H_0$ ist zu verwerfen" und "$H_0$ ist nicht zu verwerfen" zu liefern ist ein Signifikanztest.

Ein besonderer Signifikanztest, der Alternativtest, wird verwendet, wenn sowohl die Nullhypothese $H_0$ als auch die Alternativhypothese $H_1$ einfach sind. Einfach bedeutet, dass die Hypothese sich durch exakt einen Wert beschreiben lässt z.B. als $H_0: p=p_a$. Anders als beim Signifikanztest kann man hier die Wahrscheinlichkeit für das Begehen eines Fehlers 2. Art angeben.

Merke

Der Ablehnungsbereich $\bar{A}$ ist die Menge aller Werte der Zufallsvariablen X, für die $H_0$ abgelehnt wird. Der Annahmebereich $A$ ist das Komplement des Ablehnungsbereichs im Wertebereich von X. Der kritische Wert ist der kleinste Wert des Ablehnungsbereichs.

Methode

Das Vorgehen beim Alternativtest

  1. Ist der kritsiche Wert gegeben, gehe zu Schritt 5.
  2. Berechne für das gegebene Signifikanzniveau $\alpha$ passenden kritischen Wert. Gehe zu Schritt 3 oder 4.
  3. Rechtsseitiger Alternativtest: Bestimme $k = \mathrm{min} \{n \in \mathbb{Z} | P(\bar{A}_{p_0})=P(X \geq k) \leq \alpha \}$.
  4. Linksseitiger Alternativtest: Bestimme $k = \mathrm{max} \{n \in \mathbb{Z} | P(\bar{A}_{p_0})=P(X \leq k) \leq \alpha \}$.
  5. Ermittle den Annahme- und den Ablehnungsbereich, für die Fehler.
  6. Berechne $\beta=P(A_{p_1})$ und falls nötig $\alpha=P(\bar{A}_{p_0})$.
  7. Auswertung: Entscheidet man sich für $H_1$, so irrt man sich mit Wahrscheinlichkeit $\alpha$, wenn $H_0$ richtig ist. Ist hingegen $H_0$ falsch und man enscheidet sich trotzdem für die Nullhypothese, so begeht man mit Wahrscheinlichkeit $\beta$ einen Fehler.
Multiple-Choice
Ein Glühlampenhersteller bietet ein neues Modell mit vergrößerter Brenndauer an. Zum Vergleich der beiden Modelle werden 20 Lampen der neuen Sorte zugleich angeschaltet. Sind alle Angaben des Händlers korrekt, sollten noch $80 \%$ der Lampen brennen. Ist die angepriesene Verbesserung nur unwesentlich, werden nur noch $60 \%$ brennen. Welche der beiden Aussagen ist wahrscheinlicher, wenn 15 Lampen brennen?
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Lösen

Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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