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Merke

Ein Vorgang der beliebig oft wiederholbar ist, bei dem alle möglichen Ergebnisse bekannt sind und dessen Ausgang nicht vorherzusehen ist, heißt Zufallsexperiment.

Wichtig ist hierbei vor allem, dass es ist unerheblich wie oft das Experiment wiederholt wird, der Ausgang ist stets ungewiss. Außerdem werden pathologische Fälle (z.B. eine Münze, die auf dem Münzrand landet und stehen bleibt) ignoriert.

Beispiel

  • Werfen eines gewöhnlichen sechsseitigen Spielwürfels (W6)
  • Roulette-Spiel
  • Ziehen einer Karte aus einem gemischten Deck

Über solche Zufallsexperimente können, mittels der Wahrscheinlichkeitstheorie, trotzdem sichere Aussagen gemacht werden. Dies erfordert allerdings eine mathematische, genauer mengentheoretische, Beschreibung.

Merke

Alle möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments werden als Elemente $\omega$ der Ergebnismenge $\Omega$ bezeichnet. Man nennt sie Ergebnisse (manchmal auch Elementarereignis, Grundereignis oder atomares Ereignis).

Beispiel

Experiment: Werfen eines W6.

Ergebnis: Augenzahl. Es gilt dann $\omega \in \{1;2;3;4;5;6\} = \Omega$.

Experiment: Roulette.

Ergebnis: Nummernfach. Es gilt $\omega \in \{0;1;\dots;36\}$.

Experiment: Ziehen aus einem französischen Skatblatt.

Ergebnis: Karte. Es gilt $\omega \in \{Karo;Herz;Pik;Kreuz\}\times \{7;8;9;10;Bube;Dame;König;Ass\}$.

Möchte man bestimmte Eigenschaften des Ergebnisses erfassen, benötigt man Teilmengen von $\Omega$.

Merke

Die Potenzmenge der Ergebnismenge $\Omega$ wird mit $\mathcal{P}(\Omega)$ oder $2^\Omega$ bezeichnet. Sie ist die Menge, die alle Teilmengen von $\Omega$ enthält und ihre Elemente nennt man Ereignisse. Sie ist eine Algebra über $\Omega$ und wird daher auch Ereignisalgebra genannt.

Beispiel

Münzwurf: $\mathcal{P}(\Omega) = \{\emptyset;\{Kopf\};\{Zahl\};\{Kopf;Zahl\}\}$

Werfen eines vierseitigen Würfels (W4): $\mathcal{P}(\Omega) = \{\emptyset;\{1\};\{2\};\{3\};\{4\};\{1;2\};\{1;3\};\{1;4\};\{2;3\};\{2;4\};\{3;4\};\{1;2;3\};\{1;2;4\};\{1;3;4\};\{2;3;4\};\{1;2;3;4\}\}$

Die Potenzmenge einer n-elementige Menge hat stets $2^n$ Elemente. Um von den Mengen zur Wahrscheinlichkeit zu kommen, ist eine Funktion nötig: Das Wahrscheinlichkeitsmaß P. Dieses Maß misst den Anteil den ein Ereignis am Ergebnisraum hat.

Merke

Sei $P: \mathcal{P}(\Omega) \rightarrow \mathbb{R}$, dann heißt P Wahrscheinlichkeitsmaß genau dann, wenn die folgenden drei Eigenschaften für alle $A, B \in \mathcal{P}(\Omega)$ gelten.

  1. $P(A)>=0$
  2. $P(\Omega)=1$
  3. $A \cap B = \emptyset \Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B)$

Die Funktion P bildet also Elemente von $\mathcal{P}(\Omega)$, d.h. Teilmengen von $\Omega$, auf die reellen Zahlen ab. Die erste Eigenschaft (Nichtnegativität) sorgt zusammen mit der zweiten (Normierung) dafür, dass die Werte von P auf $\left[0,1\right]$ beschränkt bleiben. Diese Forderungen sind ganz logisch, denn Ereignisse können schließlich nicht mit negativer Sicherheit oder mit einer Sicherheit von mehr als 100% eintreten. Weiterhin sollen die Wahrscheinlichkeiten von Mengen, die sich nicht überlappen, durch Addieren zusammengefügt werden können. Dies wird durch die dritte Eigenschaft (Additivität) sichergestellt.

Beispiel

Nach einem Münzwurf zeigt die Münze entweder Kopf, Ereignis A, oder Zahl, Ereignis B.

  • $P(\emptyset)=0$
  • $P(A)=P(B)=\frac{1}{2}$
  • $P(A \cup B)=P(\Omega)=1$

Nun ist der Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{P}(\Omega), P)$ erklärt und man kann von der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A sprechen.

Eine solche Beschreibung ist für ein simples Experiment hinreichend. Doch wie werden komplexere Vorgänge modelliert? Zunächst muss man zwischen Vorgängen mit diskreten und kontinuierlichen Ergebismengen unterscheiden.

Merke

Ist eine Menge endlich oder abzählbar unendlich groß, so spricht man von einer diskreten Menge. Mengen größerer Kardinalität heißen überabzählbar.

Man sollte sich das so merken: Reichen die Brüche in $\mathbb{Q}$ aus um alle Ergebnisse zu zählen, handelt es sich um ein diskretes Experiment. Ansonsten ein kontinuierliches.

Beispiel

Stellt man sich das zufällige Fallenlassen einer Nadel über einer Strecke der Länge eins vor, ergibt sich das Experiment: Die zufällige Wahl einer Zahl aus $[0, 1] \subset \mathbb{R}$. Es ist ein Beispiel für ein Experiment mit überabzählbarer Ergebnismenge.

Beispiel

Wirft man eine Münze n-mal, so ist die Ergebnismenge endlich: $|\Omega|=2^n$. Wirft man sie jedoch unendlich oft, ist die Ergebnismenge überabzählbar: $|\Omega|=2^{|\mathbb{N}|}=|\mathbb{R}|$.

Für $k \in \mathbb{N}$ kann man k Experimente zu einem k-stufigen Experiment zusammenfassen. Hierbei kann die Reihenfolge entscheidend sein. Ergebnisse des mehrstufigen Experiments sind Tupel (Vektoren) von Ergebnissen des Teilvorgänge.

Multiple-Choice
Bei einem Spiel werden in jeder Runde zwei handelsübliche, nicht zu unterscheidende Würfel (W6) geworfen. Ihre Summe bestimmt wesentlich den Fortgang. Welche Summen werden am häufigsten geworfen? Welche am seltensten? Wie viel wahrscheinlicher sind die häufigsten Summen als die seltensten?
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Hinweis:

Bitte kreuzen Sie die richtigen Aussagen an. Es können auch mehrere Aussagen richtig oder alle falsch sein. Nur wenn alle richtigen Aussagen angekreuzt und alle falschen Aussagen nicht angekreuzt wurden, ist die Aufgabe erfolgreich gelöst.

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