Fläche zwischen zwei Graphen
Auch die Fläche zwischen zwei Graphen lässt sich berechnen.
Merke
Die Fläche zwischen zwei Graphen g(x) und h(x) berechnest du, indem du die Fläche der Differenzfunktion f(x)=g(x)-h(x) berechnest.
Beispiel
Fläche zwischen g(x)=x²-2x+2 h(x)=x³-3x²+2x+2
Differenzfunktion f(x)=g(x)-h(x)=x²-2x+2-(x³-3x²+2x+2)=x²-2x+2-x³+3x²-2x-2
f(x)=-x³+4x²-4x
Jetzt erst wieder die Nullstellen berechnen:
0=-x³+4x²-4x=$-x\cdot(x²-4x+4)$
x01=0, 0=x²-4x+4 -> x02=2
A=|$\int_{0}^{2}(-x³+4x²-4x)dx$|
A$=|[\frac{-x^4}{4}+\frac{4x^3}{3}+\frac{-4x^2}{2}]^{2}_{0}$|
A$=|[-\frac{x^4}{4}+\frac{4x^3}{3}-2x^2]^{2}_{0}$|
A$=|-\frac{2^4}{4}+\frac{4\cdot 2^3}{3}-2\cdot 2^2-0$|
A$=|-\frac{16}{4}+\frac{4\cdot 8}{3}-2\cdot 4$|
A$=|-4+\frac{32}{3}-8|=|-12+\frac{32}{3}|=|-\frac{36}{3}+\frac{32}{3}|\\=|-\frac{4}{3}|=|-1,33|=\frac{4}{3}=1,33$
Merke
Wenn die Differenzfunktion Flächen über und unter der x-Achse hat, musst du diese wieder seperat berechnen.
Merke
Die Nullstellen der Differenzfunktion f(x) sind die Schnittpunkte der Funktionen g(x) und h(x) miteinander.
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