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Fläche zwischen zwei Graphen

Integralrechnung - graphisches Integrieren / Flächenberechnung

Auch die Fläche zwischen zwei Graphen lässt sich berechnen.

Merke

Die Fläche zwischen zwei Graphen g(x) und h(x) berechnest du, indem du die Fläche der Differenzfunktion f(x)=g(x)-h(x) berechnest.

Fläche zwischen zwei Graphen
Fläche zwischen zwei Graphen
Differenzfunktion
Differenzfunktion

Beispiel

Fläche zwischen g(x)=x²-2x+2       h(x)=x³-3x²+2x+2

Differenzfunktion f(x)=g(x)-h(x)=x²-2x+2-(x³-3x²+2x+2)=x²-2x+2-x³+3x²-2x-2
                         f(x)=-x³+4x²-4x

Jetzt erst wieder die Nullstellen berechnen:
0=-x³+4x²-4x=$-x\cdot(x²-4x+4)$

x01=0, 0=x²-4x+4  -> x02=2

A=|$\int_{0}^{2}(-x³+4x²-4x)dx$|

A$=|[\frac{-x^4}{4}+\frac{4x^3}{3}+\frac{-4x^2}{2}]^{2}_{0}$|

A$=|[-\frac{x^4}{4}+\frac{4x^3}{3}-2x^2]^{2}_{0}$|

A$=|-\frac{2^4}{4}+\frac{4\cdot 2^3}{3}-2\cdot 2^2-0$|

A$=|-\frac{16}{4}+\frac{4\cdot 8}{3}-2\cdot 4$|

A$=|-4+\frac{32}{3}-8|=|-12+\frac{32}{3}|=|-\frac{36}{3}+\frac{32}{3}|\\=|-\frac{4}{3}|=|-1,33|=\frac{4}{3}=1,33$

Merke

Wenn die Differenzfunktion Flächen über und unter der x-Achse hat, musst du diese wieder seperat berechnen.

Merke

Die Nullstellen der Differenzfunktion f(x) sind die Schnittpunkte der Funktionen g(x) und h(x) miteinander.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Einleitung Analysis I
    • Einleitung zu Einleitung Analysis I
  • Verständnis der Ableitung
    • Einleitung zu Verständnis der Ableitung
    • Was ist die Ableitung?
    • Die graphische Ableitung
      • Einleitung zu Die graphische Ableitung
      • Punkte mit waagerechter Tangente
        • Einleitung zu Punkte mit waagerechter Tangente
        • Extrempunkte graphisch
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      • Wendepunkte graphisch
        • Einleitung zu Wendepunkte graphisch
        • Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
        • Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
      • Vergleich der Wendepunkte
      • Graphen ableiten
  • Ableiten
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      • Einleitung zu Ableitungsregeln
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      • Komplexe Funktionen ableiten
      • Sinus, Cosinus, e-Funktion und Logarithmus ableiten
    • Kurvenscharen ableiten
    • Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
  • Grundaufgaben der Analysis
    • Einleitung zu Grundaufgaben der Analysis
    • y-Wert berechnen
    • x-Wert berechnen
    • Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
    • Punkt zu einer gegebenen Steigung berechnen
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
    • Schnittpunkte mit den Achsen
      • Einleitung zu Schnittpunkte mit den Achsen
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      • Klassifizierung der Nullstellen
    • Extrempunkte
      • Einleitung zu Extrempunkte
      • Bedingungen für Extrempunkte
      • Berechnung der Extrempunkte
    • Wendepunkte
      • Einleitung zu Wendepunkte
      • Bedingungen für Wendepunkte
      • Berechnung von Wendepunkten
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
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    • Wertebereich
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    • Graph
    • Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    • Funktionsuntersuchung im Abitur
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    • Einleitung zu Einführung in die Integralrechnung
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    • Integrationsregeln
      • Einleitung zu Integrationsregeln
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    • Der Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechung
    • Das bestimmte Integral
  • Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • Einleitung zu Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • graphisches Integrieren
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      • Einleitung zu Flächenberechnung
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      • Fläche zwischen zwei Graphen
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        • Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar
        • Extrempunkte kubische Schar
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    • Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
      • Einleitung zu Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
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