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Fläche zwischen Graph und x-Achse

Integralrechnung - graphisches Integrieren / Flächenberechnung

Um eine Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen zu berechnen gehst du ähnlich der Intervallrechnung vor. Der einzige Unterschied besteht darin, dass du die Intervallgrenzen hier nicht gegeben hast.

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Um eine Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen zu berechnen musst du als erstes alle Nullstellen berechnen. Die äußeren Nullstellen sind dann die Intervallgrenzen, die inneren Nullstellen benötigtst du, wenn es Flächen über oder unter der x-Achse gibt.

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Bei Flächen unter der x-Achse musst du den Betrag der Fläche berechnen.

Fläche unter einer Kurve

Beispiel

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1. Fläche unter einer Kurve - negative Fläche

f(x)=x²-1

Hier müssen zuerst die Nullstellen berechnet werden.

0=x²-1 -> x01=-1, x02=1

Es ergibt sich eine Fläche unter der x-Achse,
daher muss vom Integral der Betrag genommen werden.

A=|$\int_{-1}^{1}(x²-1)dx|=|[\frac{x³}{3}-x]^{1}_{-1}|$

A$=|\frac{(1)^3}{3}-1-(\frac{(-1)^3}{3}-(-1))$|

A$=|\frac{1}{3}-1+\frac{1}{3}-1|=|\frac{2}{3}-2|=|-1,33|=1,33$

Fläche unter einer Kurve
Fläche unter einer Kurve - negative Fläche

Flächen unter und über der x-Achse

Beispiel

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Flächen unter und über der x-Achse

f(x)=x³-3x²+2x

Hier müssen auch zuerst die Nullstellen berechnet werden.

0=x³-3x²+2x=$x\cdot(x²-3x+2)$

-> x01=0, 0=x²-3x+2
Lösen der quadratischen Gleichung mit der p-q-Formel ergibt:

x02=1, x03=2

Es ergeben sich 2 verschiedene Flächen. A=A1+A2

A1=$\int_{0}^{1}(x³-3x²+2x)dx=[\frac{x^4}{4}-\frac{3x^3}{3}+\frac{2x^2}{2}]^{1}_{0}$

A1$=[\frac{x^4}{4}-x^3+x^2]^{1}_{0}=\frac{1^4}{4}-1^3+1^2-0$

A1$=\frac{1}{4}-1+1=\frac{1}{4}=0,25$
 

A2=|$\int_{1}^{2}(x³-3x²+2x)dx|=|[\frac{x^4}{4}-x^3+x^2]^{2}_{1}$|

A2$=|\frac{2^4}{4}-2^3+2^2-(\frac{1^4}{4}-1^3+1^2)$|

A2$=|4-8+4-(\frac{1}{4}-1+1)$|

A2$=|0-(\frac{1}{4}|=|-0,25|=0,25$

A=0,25+0,25=0,5

Fläche unter einer Kurve
Flächen unter und über der x-Achse

Die oben beschriebene Rechnung musst du machen, wenn dir nur ein normaler Taschenrechner zur Verfügung steht. Steht dir ein Grafikrechner zur Verfügung kannst du die Nullstellen mit den TR ausrechnen und dann die einzelnen Flächen, welche du dann am Ende zusammenaddierst.

Im folgenden Video wird die Integralrechnung mit dem Casio Classpad, einem CAS-Rechner erklärt. In anderen Cas-Rechnern ist die Vorgehensweise ähnlich.

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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Diese Themen werden im Kurs behandelt:

[Bitte auf Kapitelüberschriften klicken, um Unterthemen anzuzeigen]

  • Einleitung Analysis I
    • Einleitung zu Einleitung Analysis I
  • Verständnis der Ableitung
    • Einleitung zu Verständnis der Ableitung
    • Was ist die Ableitung?
    • Die graphische Ableitung
      • Einleitung zu Die graphische Ableitung
      • Punkte mit waagerechter Tangente
        • Einleitung zu Punkte mit waagerechter Tangente
        • Extrempunkte graphisch
        • Sattelpunkte
      • Wendepunkte graphisch
        • Einleitung zu Wendepunkte graphisch
        • Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
        • Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
      • Vergleich der Wendepunkte
      • Graphen ableiten
  • Ableiten
    • Einleitung zu Ableiten
    • Ableitungsregeln
      • Einleitung zu Ableitungsregeln
      • Potenzregel
      • Faktorregel
      • Summenregel
      • Produktregel
      • Quotientenregel
      • Kettenregel
      • Komplexe Funktionen ableiten
      • Sinus, Cosinus, e-Funktion und Logarithmus ableiten
    • Kurvenscharen ableiten
    • Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
  • Grundaufgaben der Analysis
    • Einleitung zu Grundaufgaben der Analysis
    • y-Wert berechnen
    • x-Wert berechnen
    • Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
    • Punkt zu einer gegebenen Steigung berechnen
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
    • Schnittpunkte mit den Achsen
      • Einleitung zu Schnittpunkte mit den Achsen
      • y-Achsenabschnitt
      • Nullstellen
      • Klassifizierung der Nullstellen
    • Extrempunkte
      • Einleitung zu Extrempunkte
      • Bedingungen für Extrempunkte
      • Berechnung der Extrempunkte
    • Wendepunkte
      • Einleitung zu Wendepunkte
      • Bedingungen für Wendepunkte
      • Berechnung von Wendepunkten
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Globalverhalten
    • Wertebereich
    • Monotonie
    • Graph
    • Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    • Funktionsuntersuchung im Abitur
  • Einführung in die Integralrechnung
    • Einleitung zu Einführung in die Integralrechnung
    • Von der Summe zum Integral
    • Die Stammfunktion und das unbestimmte Integral
    • Integrationsregeln
      • Einleitung zu Integrationsregeln
      • Potenzregel der Integration
      • lineare Substitution
    • Der Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechung
    • Das bestimmte Integral
  • Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • Einleitung zu Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • graphisches Integrieren
    • Flächenberechnung
      • Einleitung zu Flächenberechnung
      • Fläche im Intervall
      • Fläche zwischen Graph und x-Achse
      • Fläche zwischen zwei Graphen
    • Die Integralrechung im Abitur
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen
    • Besonderheiten von Kurvenscharen
      • Einleitung zu Besonderheiten von Kurvenscharen
      • Klassifizierung von Kurvenscharen
        • Einleitung zu Klassifizierung von Kurvenscharen
        • Kurvenschar Bruch
        • Kurvenschar Wurzel 1
        • Kurvenschar Wurzel 2
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    • Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung
      • Einleitung zu Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung
      • kubische Funktionenschar
        • Einleitung zu kubische Funktionenschar
        • Definitionsbereich und Symmetrie kubische Schar
        • Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar
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      • Einleitung zu Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
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      • Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie e-Funktionenschar
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