Fläche zwischen Graph und x-Achse
Um eine Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen zu berechnen gehst du ähnlich der Intervallrechnung vor. Der einzige Unterschied besteht darin, dass du die Intervallgrenzen hier nicht gegeben hast.
Merke
Um eine Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen zu berechnen musst du als erstes alle Nullstellen berechnen. Die äußeren Nullstellen sind dann die Intervallgrenzen, die inneren Nullstellen benötigtst du, wenn es Flächen über oder unter der x-Achse gibt.
Merke
Bei Flächen unter der x-Achse musst du den Betrag der Fläche berechnen.
Fläche unter einer Kurve
Beispiel
1. Fläche unter einer Kurve - negative Fläche
f(x)=x²-1
Hier müssen zuerst die Nullstellen berechnet werden.
0=x²-1 -> x01=-1, x02=1
Es ergibt sich eine Fläche unter der x-Achse,
daher muss vom Integral der Betrag genommen werden.
A=|$\int_{-1}^{1}(x²-1)dx|=|[\frac{x³}{3}-x]^{1}_{-1}|$
A$=|\frac{(1)^3}{3}-1-(\frac{(-1)^3}{3}-(-1))$|
A$=|\frac{1}{3}-1+\frac{1}{3}-1|=|\frac{2}{3}-2|=|-1,33|=1,33$
Flächen unter und über der x-Achse
Beispiel
Flächen unter und über der x-Achse
f(x)=x³-3x²+2x
Hier müssen auch zuerst die Nullstellen berechnet werden.
0=x³-3x²+2x=$x\cdot(x²-3x+2)$
-> x01=0, 0=x²-3x+2
Lösen der quadratischen Gleichung mit der p-q-Formel ergibt:
x02=1, x03=2
Es ergeben sich 2 verschiedene Flächen. A=A1+A2
A1=$\int_{0}^{1}(x³-3x²+2x)dx=[\frac{x^4}{4}-\frac{3x^3}{3}+\frac{2x^2}{2}]^{1}_{0}$
A1$=[\frac{x^4}{4}-x^3+x^2]^{1}_{0}=\frac{1^4}{4}-1^3+1^2-0$
A1$=\frac{1}{4}-1+1=\frac{1}{4}=0,25$
A2=|$\int_{1}^{2}(x³-3x²+2x)dx|=|[\frac{x^4}{4}-x^3+x^2]^{2}_{1}$|
A2$=|4-8+4-(\frac{1}{4}-1+1)$|
A2$=|0-(\frac{1}{4}|=|-0,25|=0,25$
A=0,25+0,25=0,5
Die oben beschriebene Rechnung musst du machen, wenn dir nur ein normaler Taschenrechner zur Verfügung steht. Steht dir ein Grafikrechner zur Verfügung kannst du die Nullstellen mit den TR ausrechnen und dann die einzelnen Flächen, welche du dann am Ende zusammenaddierst.
Im folgenden Video wird die Integralrechnung mit dem Casio Classpad, einem CAS-Rechner erklärt. In anderen Cas-Rechnern ist die Vorgehensweise ähnlich.
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