Musterlösung a
Vorüberlegung
Man kann die diskreten Energien prognostizieren, wenn man sich die quantenmechanischen Grundlagen vor Augen führt. Demnach wird das Elektron im Potentialtopf durch die Wellenfunktion
Prognose diskreter Energie (ohne Rechnung)
Die Wellenfunktion verhält sich hier analog einer stehenden Welle, die an den Wänden des unendlich hohen Potentialtopfs verschwinden muss (sie hat dort Schwingungsknoten, weil das Elektron nicht aus dem Topf entkommen kann.)
Anschaulich gesprochen führt diese Randbedingung dazu, dass nur ganz bestimmte Formen der Wellenfunktion erlaubt sind (vgl. mit eingespannter Saite/ stehender Welle). Damit sind auch nur ganz bestimmte (diskrete) Wellenlängen
Randbedingungen am Potentialtopf------> diskrete Wellenlänge------>diskreter Impuls------->diskrete Energie
Hinweise:
- Hilfreich an dieser Stelle ist es, sich an die Beziehung
bei einer stehenden Welle zu erinnern. - Man beachte, dass die diskrete (kinetische) Energie mathematisch streng genommen dann aus der Gleichung
folgt.
Die Energie des Grundzustandes ist nicht Null
Angenommen, der Grundzustand hätte die Energie Null. Dann wäre der Impuls
(siehe auch Kursinhalte aus dem Modul Atomphysik)
Hinweis/Bemerkung:
Die Existenz dieser Nullpunktsenergie ist ein Garant für die Stabilität von Atomen.