Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

  1. Geraden
    Geraden
    ... und zwar als Schaubilder von linearen Funktionsgleichungen. Eine Gerade war also die graphische Darstellung eines "einfachen" (linearen) Zusammenhangs zwischen x- und y-Wert. Jetzt wollen wir einen Schritt weitergehen und Geraden in den dreidimensionalen Raum übertragen. Hierbei stellen wir uns in diesem Kapitel folgende Fragen:Wie gehen wir jetzt mit Geraden im Dreidimensionalen um? Wie "sehen" solche Geraden denn "aus"?Wie können wir eine solche Gerade mathematisch beschreiben? Gibt ...
  2. Eine Gerade - viele Gleichungen?
    Geraden > Eine Gerade - viele Gleichungen?
    ... Gerade durch (unendlich) viele unterschiedliche Gleichungen beschrieben werden.Warum ist das so?Schauen wir uns an, wie wir im vorherigen Kapitel die Gleichung einer Geraden aufgestellt haben. Wir haben einen beliebigen Punkt der Geraden als Aufpunkt gewählt.Nun besteht eine Gerade aber aus unendlich vielen Punkten – und jeder dieser Punkte kann als Aufpunkt genommen werden ohne deswegen eine andere Gerade zu bekommen.Die Geradengleichungen $\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix} ...
  3. Lage von Geraden
    Geraden > Lage von Geraden
    Fallunterscheidung Geraden
    ... der Geraden gibt. Dazu setzen wir die Geradengleichungen gleich und erhalten ein LGS. Wenn das LGS eine Lösung besitzt, schneiden sich die Geraden, ist es unlösbar, so sind sie windschief zueinander.Tipp: Zuerst die Richtungsvektoren überprüfen. Häufig kommt man dann um das LGS herum ;-). Andernfalls versucht man das LGS zu lösen und muss sich anschließend noch überlegen, was die Lösung denn bedeutet.Insgesamt erweist sich also folgendes Vorgehen ...
  4. Schnitte von Geraden
    Geraden > Schnitte von Geraden
    ... bekommt man heraus, indem man die Geradengleichungen gleichsetzt. Bildlich gesprochen berechnet man, wie weit man auf den Geraden vom Aufpunkt in Richtung des Richtungsvektors gehen muss, bis man auf der anderen Gerade landet. Man erhält als Lösung also jeweils einen Wert für den Parameter t.Achtung: dieser Wert kann, muss aber bei beiden Geraden nicht derselbe sein! Daher sollten wir den beiden Parametern neue Namen geben, so dass wir sie unterscheiden können.Nehmen ...
  5. Ebenengleichungen umwandeln
    Ebenen in der analytischen Geometrie > Ebenengleichungen umwandeln
    Schauen wir uns nun an, wie man Ebenenengleichungen in die Parameterform,Koordinatenform und dieNormalenformumwandelt.Von der Parameter- zur NormalenformAus der Parametergleichung übernehmen wir den Aufpunkt der Ebene als Punkt für die Normalengleichung. Zu den beiden Spannvektoren suchen wir einen orthogonalen Vektor, den wir als Normalenvektor in die Gleichung schreiben.Den Normalenvektor erhalten wir entweder durch Lösen des Gleichungssystems, das sich aus den Skalarprodukten ...
  6. Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    Lagebeziehungen und Abstände > Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    ... E1 und E2 sind identisch, da ihre Koordinatengleichungen nur Vielfache voneinander sind. Die Ebene E3 ist zu Ebene E1 bzw. E2 parallel, da ihre Normalenvektoren identisch bzw. Vielfache sind und die Zahl rechts vom Gleichheitszeichen unterschiedlich ist. Ebene E4 schneidet die anderen Ebenen. Eine ausführliche Betrachtung dieses Falles findet sich im Kapitel Schnitte.3 EbenenBei drei Ebenen vervielfachen sich entsprechend die Möglichkeiten, welche Lage sie zueinander haben können. ...
  7. Abstände von Geraden
    Lagebeziehungen und Abstände > Abstandsprobleme > Abstände von Geraden
    ... H die allgemeinen Koordinaten aus den Geradengleichungen ein, ergibt sich ein LGS, das im Falle windschiefer Geraden eindeutig lösbar ist. Die Lösung liefert die Punkte G und H. Der Abstand der windschiefen Geraden g und h entspricht dann dem Betrag des Vektors $\overrightarrow{GH}$.Die Geraden $g: \quad \vec{x}= \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\-3\\1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 2\\-2\\0 \end{pmatrix}$ und $h: \quad \vec{x}= \begin{pmatrix} ...
  8. Schnitte
    Schnitte
    ... der Bedingungen und je nach vorliegenden Gleichungen geht man entsprechend vor. Bleibt uns letztlich, das Ergebnis noch zu deuten: Exakt eine Lösung bedeutet immer Schnittpunkt (und liefert dessen Koordinaten), keine Lösung heißt auch kein Schnitt und unendlich viele Lösungen weisen auf eine Identität hin (beim Schnitt von Geraden und Ebenen verläuft die Gerade dann in der  Ebene). Betrachten wir nun beispielhaft ein paar Fälle.
  9. Schnitt Ebene-Gerade
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Schnitte > Schnitt Ebene-Gerade
    ... (nämlich den Parametern aus den Gleichungen). Einfacher gestaltet sich die Bestimmung des Schnittpunktes, wenn die Ebene in Koordinaten- oder Normalenform vorliegt. Dann setzen wir einfach für den Vektor $\vec{x}$ in der Ebenengleichung den Vektor $\vec{x}$ aus der Geradengleichung ein und lösen die entstehende Gleichung nach unserem Parameter auf. Ein kleines Beispiel mag dies verdeutlichen:Berechne den Schnittpunkt der Geraden g mit $\vec{x} = \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ ...
  10. Spiegelungen
    Spiegelungen
    ... benötigen sind das Aufstellen von Geradengleichungen, das Messen von Abständen und das Bestimmen eines zu einer gegebenen Ebene orthogonalen Vektors.
  11. Lineare Gleichungssysteme
    Lineare Gleichungssysteme
    ... noch meist damit zufrieden gegeben zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten zu lösen (z.B. um den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen), werden nun die Aufgabenstellungen etwas komplexer.Im folgenden Kapitel betrachten wir zunächst einmal Lösungsstrategien, um so ein Gleichungssystem zu knacken. Dabei können wir unabhängig von der Mächtigkeit eines solchen Systems vorgehen. Anschließend werden wir uns konkreten Aufgabenstellungen widmen.In der Analytischen ...
  12. Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?
    Lineare Gleichungssysteme > Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?
    Das Lösen von Gleichungen gehört ohne Zweifel zum mathematischen Grundkönnen dazu. Noch ein Schritt interessanter ist das Lösen von Systemen von Gleichungen. Das entspricht dem logischen Schließen und Kombinieren eines Ergebnisses aus verschiedenen Aussagen. Bei linearen Gleichungssystemen haben wir nur lineare Variablen / Parameter / Koordinaten.Ein Lineares Gleichungssystem (LGS) sieht beispielsweise so aus:$\begin{alignat} {3}&5 x_1 &+ 4 x_2 &+ 10 x_3  ...
  13. Lösen eines linearen Gleichungssystems
    Lineare Gleichungssysteme > Lösen eines linearen Gleichungssystems
    ... Werte für x1, x2 und x3, für die alle Gleichungen erfüllt sind.Dabei kann es auch vorkommen, dass es neben einer eindeutigen Lösung auch unendlich viele oder auch überhaupt keine Lösung gibt. Was die einzelnen Fälle jeweils bedeuten und wie wir damit umgehen, behandeln wir später im Kapitel. Vorerst wollen wir uns auf "schöne", eindeutig lösbare, lineare Gleichungssysteme beschränken, um sie ein bisschen besser kennen zu lernen.Das Lösen ...
  14. Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung eines linearen Gleichungssystems
    Lineare Gleichungssysteme > Lösen eines linearen Gleichungssystems > Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung eines linearen Gleichungssystems
    ... Wir wollen die Informationen, die in den Gleichungen stecken, so miteinander verbinden, dass die Lösung für alle Unbekannten ersichtlich wird.Dafür muss uns klar sein, welche Umformungen und Rechnungen bei Gleichungssystemen erlaubt sind. Generell darf man an einer Gleichung Äquivalenzumformungen vornehmen, das sind Operationen, die die Aussage einer Gleichung nicht verändern, sie also gleichwertig lassen.So ist zum Beispiel das Multiplizieren einer Gleichung mit ...
Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
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Vorkenntnisse zur Analysis

  1. Gleichungen lösen
    Gleichungen lösen
    ... in der Analysis gehört das Lösen von Gleichungen.Das bedeutendste Anwendungsgebiet ist dabei das Berechnen der Nullstellen, d.h. eine Gleichung wird gleich Null gesetzt und nach x umgestellt. Das ist zugleich auch fast immer der einzig Erfolg versprechende Weg, um eine Gleichung tatsächlich zu lösen.Die Nullstellenberechnung taucht in der Analysis an mehreren Stellen auf:Nullstellen einer FunktionNullstellen der 1. Ableitung (zur Bestimmung der Extrempunkte)Nullstellen der ...
  2. Lineare Gleichungen lösen
    Gleichungen lösen > Lineare Gleichungen lösen
    Die linearen Gleichungen sind die einfachsten zu lösenden Gleichungen. Lineare Gleichungen erkennt man daran, dass in der Gleichung nur Zahlen und eine Variable - zum Beispiel x - stehen (kein x², x³ usw.).Um lineare Gleichungen zu lösen benötigt man nur die Grundrechenarten, also die mathematischen Operationen: $+, -, \cdot,:$Ziel des Gleichungslösens ist es, die Variable x (kann aber aber auch einen anderen Namen haben wie z. B. a, y, z u.s.w) herauszubekommen. ...
  3. Quadratische Gleichungen lösen
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen
    Quadratische Gleichungen entstehen in der Analysis, wenn Du quadratische Funktionen mit einer Zahl oder einer Funktion gleichsetzen. Dies tritt auf bei:NullstellenberechnungBerechnung eines x-Wertes zu gegebenen y-WertSchnittpunktberechnung von zwei FunktionenNullstellenNullstellenberechnung$f(x)=3x²-4x+5$$0=3x²-4x+5$Diese quadratische Gleichung muss nun gelöst werden.x-WertBerechnung eines x-Wertes zu einem gegebenen y-Wert$f(x)=-2x²+5, y-Wert f(x)=4$$4=-2x²+5$Diese quadratische ...
  4. Quadratische Funktionen lösen
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen > Quadratische Funktionen lösen
    Quadratische Funktion ohne Nullstelle, f(x)=x
    ... nur einen Term ax² und eine Zahl c.Die Gleichungen können so aussehen:$ax²=-c$$0=ax²+c$ (Nullstellenberechnung)Bei beiden Gleichungen wird zuerst einmal so umgestellt, dass x² alleine steht.$ax²=-c  \vert :a$$0=ax²+c    \vert  -c$$-c=ax²      \vert :a$$x²=\frac{-c}{a}$Die Umkehroperation des Quadrierens ist das Wurzelziehen, daher wird nun auf beiden Seiten die Wurzel, genauer gesagt die Quadratwurzel, ...
  5. Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen
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    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen > Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen
    ... nur einen Term ax² und einen Term bx.Die Gleichungen können so aussehen:$ax²=-bx$$0=ax²+bx$ (Nullstellenberechnung)Hier muss man die erste Gleichung so umstellen, dass diese die Form der zweiten hat.$ax²=-bx \vert +bx$$0=ax²+bx$$0=ax²+bx$Nun darf nicht einfach durch x dividiert werden, da x auch 0 sein kann und man durch 0 nicht teilen darf. Außerdem geht so die Lösung x=0 verloren.Der nächste Schritt ist daher das Ausklammern von x.$0=x\cdot ...
  6. Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen > Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen
    quadratische Funktion mit zwei Nullstellen
    ... ax², einen Term bx und eine Zahl c.Die Gleichungen können so aussehen:$ax²=-bx-c, ax²+bx=-c$$0=ax²+bx+c$ (Nullstellenberechnung)Diese Form der quadratischen Gleichung kann mit der p-q-Formel oder mit der quadratischen Ergänzung gelöst werden.Da die pq-Formel in jeder Formelsammlung zu finden ist, wird diese auch meist für das Lösen von quadratischen Gleichungen verwendet.Um die pq-Formel anzuwenden muss die quadratische Gleichung in der sogenannten ...
  7. Gleichungen höheren Grades lösen
    Gleichungen lösen > Gleichungen höheren Grades lösen
    ... wir uns mit den folgenden Besonderheiten:Gleichungen durch Ausklammern lösenGleichungen duch Substitution lösenGleichungen durch Polynomdivision lösen
  8. Gleichungen durch Ausklammern lösen
    Gleichungen lösen > Gleichungen höheren Grades lösen > Gleichungen durch Ausklammern lösen
    Gleichungen höheren Grades können immer dann durch Ausklammern gelöst werden, wenn die verbleibende Klammer ein Funktion 2 Grades ist und dann mit der pq-Formel gelöst werden kann.0=$x^5-3x^4-4x^3$Hier wird $x^3$ ausgeklammert und es entsteht die Gleichung$0=x^3 \cdot (x^2-3x-4)$.Eine Lösung ist dann immer x=0 und die anderen Lösungen sind die Lösung aus der pq-Formel.Das Auflösen einer Gleichung 4. Grades nach der 2. Form wird in folgendem Video erklärt.Das ...
  9. Gleichungen durch Substitution lösen
    Gleichungen lösen > Gleichungen höheren Grades lösen > Gleichungen durch Substitution lösen
    Gleichungen höheren Grades können immer dann durch Substitution gelöst werden, wenn die Substitution, d.h. das Ersetzen, auf eine quadratische Gleichung führt.$x^4+6x^2=4$Es wird x² substituiert, d.h. ersetzt durch einen anderen Buchstaben z.B. a=x².Die Gleichung sieht dann so aus:a²+6a=4, diese quadratische Gleichung kann jetzt in die Normalform gebracht und mit der pq-Formel aufgelöst werden.0=a²+6a-4$a_{1,2}$=-3$ \pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-(-4)}$$a_{1,2}$=-3$ ...
  10. Gleichungen durch Polynomdivision lösen
    Gleichungen lösen > Gleichungen höheren Grades lösen > Gleichungen durch Polynomdivision lösen
    Alle Gleichungen, die sich nicht durch Substitution oder Ausklammern lösen lassen, können mit der Polynomdivision gelöst werden. Voraussetzung für diese Form der Auflösung ist eine bekannte Lösung und dass die Gleichung in der Form $0=.....$ vorliegt.Nochmal: das Durchführen einer Polynomdivision ist nicht in allen Bundesländern Pflichtstoff fürs Abitur. Dennoch sollte man über die Idee dahinter Bescheid wissen.Die Gleichung $6-x^3=2x^2-5x$ soll nach ...
  11. Ungleichungen lösen
    Gleichungen lösen > Ungleichungen lösen
    Beim Lösen von Ungleichungen gelten fast alle Regeln des Gleichungslösen. Es gibt nur einen Unterschied:Wird beim Lösen einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert oder dividiert, muss das Zeichen umgekehrt werden.$-2x+5>3$   /-5$-2x>-2      /:-2$x<1$   Im folgenden Video wird anhand einer Abituraufgabe die Lösung solch einer Ungleichung gezeigt.Das Video wird geladen ...
  12. e-Funktionen lösen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Gleichungen lösen > e-Funktionen lösen
    Um e-Funktionen, bzw. Gleichungen mit einem e-Term zu lösen muss die Gleichung erst so umgestellt werden, dass der e-Term alleine steht.$3=-5\cdot e^{2x}+4$ /-4$-1=-5\cdot e^{2x}$ /:-5$\frac{1}{5}=e^{2x}$Im zweiten Schritt wird die Gleichung dann logarithmiert und nach x aufgelöst.$\frac{1}{5}=e^{2x}$   / ln$ln(\frac{1}{5})=ln(e^{2x})$Anwenden der Logarithmengesetze: Exponent kann vor den Logarithmus geschrieben werden.$ln(\frac{1}{5})=2x\cdot ln(e)$         ...
  13. Beispiel 1 Lineares Gleichungssystem
    Lineare Gleichungssysteme lösen > Beispiel 1 Lineares Gleichungssystem
    Folgende drei Gleichungen sind gegeben:I     32a+16b+8c=3II    80a+32b+12c=0,5III   160a+48b+12c=0Diese drei Gleichungen können mit dem Additionsverfahren gelöst werden.Beim Additionsverfahren wird eine Gleichung so mit einer Zahl multipliziert, so dass bei der Addition mit einer anderen Gleichung ein Parameter (Buchstabe) rausfällt.II *-2             -160a-64b-24c=-1              ...
  14. Beispiel 2 Lineares Gleichungssystem
    Lineare Gleichungssysteme lösen > Beispiel 2 Lineares Gleichungssystem
    Es sind folgende Gleichungen gegeben:I   $16a+4b+c=4$II  $48a+2b=0$III $4a+2b=11$Lösen des linearen Gleichungssystems (LGS)Zunächst wird durch Gleichung II und Gleichung III  die Variable b bestimmt:II                        $48a+2b=0$III*-12                $-48a-24b=132$II+III*-12=IV      $0a-22b=132$IV nach ...
Vorkenntnisse zur Analysis
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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

  1. Einleitung zur weiterführenden Analysis
    Einleitung zur weiterführenden Analysis
    ... Differentialrechung wie Tangenten- und NormalengleichungenProbleme der Integralrechnung (Rotationsvolumen, Integration durch Substitution)Für jedes Unterkapitel gibt es Übungsaufgaben und am jedes großen Kapitels eine Kapitelabschlussprüfung.Schreibt bitte an support@abiweb.de, wenn ihr Fehler bemerkt, euch etwas fehlt oder ihr etwas näher erläutert haben wollt, z.B. mit einem Video.Versucht die Beispiele, die im Modul vorgerechnet werden entweder zuerst selbst zu ...
  2. Differentialrechnung
    Differentialrechnung
    ... es um die Berechnung von Tangenten- und Normalengleichungen und um Optimierungsprobleme sowie um die Bestimmung von Funktionsgleichungen unter gegebenen Bedingungen.
  3. Tangenten- und Normalengleichungen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Differentialrechnung > Tangenten- und Normalengleichungen
    Sowohl die Tangentengleichungen als auch die Normalengleichung lassen sich durch verschiedene Algorithmen bestimmen. Dazu ist wichtig zu wissen, dass die Gleichung einer Geraden durch  $g(x)=m x + n$ definiert wird. Tangenten und Normalen sind ja Geraden. Außerdem muss du wissen, dass die Steigung an einer Stelle durch die Ableitung an einer Stelle berechnet werden kann und das Tangente und Normale senkrecht aufeinander stehen.Steigung an der Stelle $x_0$ = Ableitung an der Stelle $x_0$$m=f^\prime(x_0)$Tangente ...
  4. Bestimmen von Funktionsgleichungen
    Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen
    ... Thema ist das Bestimmen von Funktionsgleichungen unter gegebenen Bedingungen.Wir können dabei drei Themenbereiche unterscheiden:Interpolation / RegressionEs sind mehrere Punkte eines Graphen gegeben und es soll eine Ausgleichsfunktion/Regressionsfunktion/Interpolationsfunktion gefunden werden.TrassierungEs sind zwei Teilfunktionen gegeben und es soll eine Verbindungsfunktion bestimmt werden.SteckbriefaufgabenEs werden bestimmte Bedingungen an die Funktion gestellt, z.B. die Funktion ...
  5. Regression und Interplolation
    Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Regression und Interplolation
    Regression mit e-Funktion
    ... man ein lineares Gleichungssystem mit n+1 Gleichungen. Alle Zeilen haben dieselbe Form: $f(x_j) = \sum_{i=0}^n a_i x^i_j$ mit $0 \leq j \leq n$.Dieses LGS lässt sich nun mit den bekannten Methoden lösen und liefert die Koeffizienten von p. Eine Auswertung $p(x_m)$ ergibt den gesuchten Wert.
  6. Vorgehen bei der Trassierung
    Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Trassierung > Vorgehen bei der Trassierung
    ... Weise zu entnehmen.Aufstellung der BedingungsgleichungenDurch Einsetzen von u und w in die Funktionsgleichung bzw. die Ableitungen und gleichsetzen mit g(u), h(w) usw.  entsteht ein lineares Gleichungssystem der Bedingungsgleichungen.BedingungBedingungsgleichungf(u)=g(u)$au^5+bu^4+cu^3+du^2+eu+f=g(u)$f(w)=h(w)$aw^5+bw^4+cw^3+dw^2+ew+f=h(w)$f´(u)=g´(u)$5au^4+4bu^3+3cu^2+2du+e=g´(u)$f´(w)=h´(w) $5aw^4+4bw^3+3cw^2+2dw+e=h´(w)$Für eine Funktion ...
  7. Beispiel einer Trassierung
    Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Trassierung > Beispiel einer Trassierung
    image
    ... überall 0.Aufstellung der BedingungsgleichungenDurch Einsetzen von u=0 und w=2 in die Funktionsgleichung bzw. die Ableitungen und gleichsetzen mit g(u), h(w) usw.  entsteht ein lineares Gleichungssystem der Bedingungsgleichungen.BedingungBedingungsgleichungVereinfachungf(0)=0$a0^5+b0^4+c0^3+d0^2+e0+f=0$f=0f(2)=3$a2^5+b2^4+c2^3+d2^2+e2+f=3$$a2^5+b2^4+c2^3+d2^2+e2+f=3$f´(0)=0$5a0^4+4b0^3+3c0^2+2d0+e=0$e=0f´(2)=0,5 $5a2^4+4b2^3+3c2^2+2d2+e=0,5$$5a2^4+4b2^3+3c2^2+2d2+e=0,5$f´´(0)=0$20a0^3+12b0^2+6c0+2d=0$d=0f´´(2)=0$20a2^3+12b2^2+6c2+2d=0$$20a2^3+12b2^2+6c2+2d=0$Lösen ...
  8. Vorgehen bei Steckbriefaufgaben
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Steckbriefaufgaben > Vorgehen bei Steckbriefaufgaben
    ... der Bedingungsgleichungen und Lösen des LGSGenau wie bei der Trassierung müssen nun aus den Bedingungen und der Funktionsgleichung und deren Ableitungen die Bedingungsgleichungen aufgestellt werden.Sind die Bedingungsgleichungen aufgestellt ergibt sich wieder ein lineares Gleichungssystem, welches per Hand oder mit dem Taschenrechner gelöst wird.Die gefundenen Parameter werden dann in die Funktionsgleichung eingesetzt.
  9. 1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
    Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Steckbriefaufgaben > 1. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
    ... der Bedingungsgleichungen und LGSBedingungBedingungsgleichungf(2)=4$a2^4+b2^2+c=4$f´´(2)=0$12a2^2+2b=0$f´(1)=11$4a1^3+2b1=11$Daraus ergibt sich folgendes LGS:I   16a+4b+c=4II  48a+2b=0III 4a+2b=11Lösen des linearen Gleichungssystems (LGS)Das LGS kann entweder mit dem TR oder bei einfachen Systemen per Hand gelöst werden.II                      48a+2b=0III*-12             ...
  10. 2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
    Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Steckbriefaufgaben > 2. Beispiel einer Steckbriefaufgabe
    Lsung mit dem CasioClassPad 330
    ... der Bedingungsgleichungen und LGSBedingungBedingungsgleichungf´(-1)=0$3a(-1)^2+2b(-1)+c=0$f´´(-1)=0$6a(-1)+2b=0$f´(3)=0$3a3^2+2b3+c=0$f(3)=5$a3^3+b3^2+c3+d=5$Daraus ergibt sich folgendes LGS:I   3a-2b+c=0II  -6a+2b=0III 27a+6b+c=0IV  27a+9b+3c+d=5Lösen des linearen Gleichungssystems (LGS)Das LGS kann entweder mit dem TR oder bei einfachen Systemen per Hand gelöst werden.Lösung mit dem CasioClassPad 330:Lösung ...
  11. Wachstums- und Zerfallsprozesse
    Wachstums- und Zerfallsprozesse
    ... diese Prozesse häufig durch Differentialgleichungen (DGL) beschrieben werden. Da positive Änderungsraten zu Wachstums- und negative zu Zerfallsprozessen führen, wird immer nur auf eine Art Prozess verwiesen, aber die Aussagen gelten in beiden Fällen.Verschiedene ProzessartenDie verschiedenen Prozessarten werden durch die Änderungsrate klassifiziert:Änderungsrate konstant - lineares WachstumÄnderungsrate ~ Bestand - exponentielles WachstumVerbrauch ~ Änderungsrate ...
Weiterfhrende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
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Anorganische Chemie

  1. Chemische Reaktionen
    Chemische Reaktionen
    image
    ... gebunden sind. Beim Aufstellen von Reaktionsgleichungen gilt das „Gesetz der Erhaltung der Masse“, das besagt, dass die Masse links und rechts vom Reaktionspfeil gleich sein muss. Masse kann nicht verloren gehen und auch nicht plötzlich entstehen. Außerdem gilt noch das „Gesetz der Erhaltung der Ladung“, das besagt, dass die Ladung links und rechts vom Reaktionspfeil gleich sein muss. Ladung kann nicht verloren gehen und auch nicht aus dem Nichts entstehen.Merke: ...
  2. Ionenbindung
    Bindungsarten > Starke Bindungen > Ionenbindung
    image
    ... werden, heißen Salze.In Reaktionsgleichungen tauchen nur die Teilchen auf, die an der Reaktion teilnehmen, und zwar in ihrer kleinsten Anzahl. Die Reaktionsgleichung in Abb. 2 zeigt ein Ionenpaar haben, das sich gegenseitig anzieht, eine Ionenbindung ausbildet und so das uns bekannte Kochsalz (NaCl) bildet. Diese Darstellung ist allerdings nicht ganz richtig. Elektrostatische Anziehungskräfte sind keine gerichteten Kräfte, d.h., sie wirken nicht nur in eine Richtung, sondern ...
  3. Säure- & Basenstärke
    Donator-Akzeptor-Prinzip > Säure-Base-Chemie > Säure- & Basenstärke
    image
    ... KB, desto stärker die Base.Alle in den Gleichungen von KS und KB vorkommenden Konzentrationen sind Gleichgewichtskonzentrationen. Die Einheit der Konstanten ist mol/L, somit die Einheit einer Konzentration. Für viele Säuren und Basen sind die KS- und KB-Werte experimentell bestimmt worden und tabellarisiert. Jedoch werden dort nicht die KB- und KS-Werte aufgeschrieben, sondern man findet dort die pKB- (Basenexponent) und pKS-Werte (Säureexponent). Sie wurden analog zum pH-Wert ...
  4. Oxidation und Reduktion
    Donator-Akzeptor-Prinzip > Redox-Chemie > Oxidation und Reduktion
    image
    ... eine sehr einfache Redoxgleichung. Andere Redoxgleichungen sind  viel komplizierter und die Teilprozesse, Oxidation und Reduktion, sind nicht so einfach zu bestimmen wie in dem dargestellten Beispiel. Daher wurde eine Hilfsgröße eingeführt, die das Bestimmen der Teilschritte in Reaktionen sehr vereinfacht. Diese Hilfsgröße wird als Oxidationszahl bezeichnet.
  5. Aufstellen von Redoxgleichungen
    Donator-Akzeptor-Prinzip > Redox-Chemie > Aufstellen von Redoxgleichungen
    image
    Redoxprozesse werden in Redoxgleichungen abgebildet. Dies sind die Reaktionsgleichungen für Redoxvorgänge. Natürlich gelten auch hier die Gesetze der Erhaltung der Masse und der Erhaltung der Ladung. Bei Redoxvorgängen ist auch der pH-Wert entscheidend. Einige Redoxprozesse können nur im sauren, andere nur im basischen Milieu stattfinden.Merke: Redoxgleichungen sind Reaktionsgleichungen, die Redoxprozesse abbilden. Um den Prozess zu üben, fangen wir mit einer Beispielaufgabe ...
  6. Oxidations-Reduktionsmittel und Oxidationszahlen
    Donator-Akzeptor > Redox-Reaktionen-Konzept > Oxidations-Reduktionsmittel und Oxidationszahlen
    image
    ... die als Hilfsmittel beim Umgang mit Redoxgleichungen dienen. Grundlage zur Bestimmung von OXZ ist die Elektronegativität eines Elements. Dem elektronegativeren Atom in einer Verbindung werden die Elektronen formal zugesprochen.Daraus lassen sich einige Regeln ableiten:Als Element haben alle Atome die Oxidationszahl Null.$\overset{{\color{Red} 0}}{K}, \overset{{\color{Red} 0}}{Na}, \overset{{\color{Red} 0}}{Cu}, \overset{{\color{Red} 0}}{P_4}, \overset{{\color{Red} 0}}{S_8},\overset{{\color{Red} ...
Anorganische Chemie
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Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

  1. x-Wert berechnen
    Grundaufgaben der Analysis > x-Wert berechnen
    ... verschiedenen Methoden zum Auflösen von Gleichungen wird im Modul "Analysis Grundlagen" eingegangen.)f(x)=$x^2-6x+9$Aufgabe: Berechne die x-Koordinate für f(x)=41. Die 4 wird mit der gesamten Funktion gleichgesetzt4=$x^2-6x+9$2. Die Gleichung wird nach x aufgelöst. Da es eine quadratische Gleichung ist, wird die Normalform hergestellt und dann mit der pq-Formel aufgelöst.4=$x^2-6x+9$  /-4$0=x^2-6x+5$p=-6   q=5       Bestimmen von p ...
  2. Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    bersicht ber die Funktionsuntersuchung
    ... von Nullstellen gehört zum Lösen von Gleichungen und wird in einem extra Modul "Vorkenntnisse zur Analysis" behandelt.
  3. Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen
    Kurvenscharen entstehen aus Funktionsgleichungen, die einen Parameter enthalten. Der Parameter ist ein beliebiger Buchstabe meist t, k oder a und kann an jeder Stelle in der Gleichung stehen.ft(x)=tx²+tfk(x)=3x²-k³fa(x)=-2x³+a²x-aIn dem Applet kannst du durch Veränderung der Parameter verschiedene Kurvenscharen simulieren. Durch Einsetzen von verschiedenen Zahlen in die Funktionsgleichung entsteht jedesmal ein neuer Graph.Bitte Box anklicken, um GeoGebra zu laden.
Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
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Stoffwechsel

  1. Prozesse zur ATP-Gewinnung
    Prozesse zur ATP-Gewinnung
    ... wie NAD+/NADH+H+ oder FAD/FADH2 in den Reaktionsgleichungen auftauchen um Elektronen zu übernehmen oder abzugeben)häufigste Stoffwechselreaktionfindet sich v.A. im CitratzyklusDas Video wird geladen ...
  2. Aufklärung der Fotosynthese
    Fotosynthese > Aufklärung der Fotosynthese
    Autoradiogramm einer 2-dimensionalen Papierchromatografie des von Calvin eingesetzten Chlorella-Extraktes. Das Experiment wurde nach unterschiedlichen Zeiten gestoppt. So werden die Stoffwechselreaktionen nach a = 0,5 Sekunden, b = 5 Sekunden und c= 30 Sekunden unterbrochen und die radioaktiven Substanzen ausgewertet.  1, 2 = Zuckerphosphate; 3 = Glycerinsurephosphat; 4 Triosephosphat; 5 Asparaginsure; 6 = Malat; 7 = Saccharose; 8?11 = Aminosuren wie z.B. Glycin, Serin oder Alanin; 12 = Glykolsure
    ... dieser Fotosynthesevariante, so kann analog in Gleichungen die Herkunft des Sauerstoffs geklärt werden.6 CO2 + 12 H2S -----> C6H12O6 + 12 S + 6 H2OAnalog in der Fotosynthese:6 CO2 + 12 H2O ----> C6H12O6 + 12 O2 + 6 H2OHill-ReaktionEine Suspension isolierter Chloroplasten kann verschiedene von außen zugeführte Moleküle reduzieren. Das heißt, die Lösung hat die Fähigkeit, Elektronen aufzunehmen! Ohne die Zugabe von CO2 entstehthierbei Sauerstoff. Rückschluss: ...
Stoffwechsel
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