Vorkenntnisse zur Analysis

  1. Beispiel 1 Lineares Gleichungssystem
    Lineare Gleichungssysteme lösen > Beispiel 1 Lineares Gleichungssystem
    Folgende drei Gleichungen sind gegeben:I     32a+16b+8c=3II    80a+32b+12c=0,5III   160a+48b+12c=0Diese drei Gleichungen können mit dem Additionsverfahren gelöst werden.Beim Additionsverfahren wird eine Gleichung so mit einer Zahl multipliziert, so dass bei der Addition mit einer anderen Gleichung ein Parameter (Buchstabe) rausfällt.II *-2             -160a-64b-24c=-1              ...
  2. Gleichungen lösen
    Gleichungen lösen
    ... in der Analysis gehört das Lösen von Gleichungen.Das bedeutendste Anwendungsgebiet ist dabei das Berechnen der Nullstellen, d.h. eine Gleichung wird gleich Null gesetzt und nach x umgestellt. Das ist zugleich auch fast immer der einzig Erfolg versprechende Weg, um eine Gleichung tatsächlich zu lösen.Die Nullstellenberechnung taucht in der Analysis an mehreren Stellen auf:Nullstellen einer FunktionNullstellen der 1. Ableitung (zur Bestimmung der Extrempunkte)Nullstellen der ...
  3. Lineare Gleichungen lösen
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    Gleichungen lösen > Lineare Gleichungen lösen
    Die linearen Gleichungen sind die einfachsten zu lösenden Gleichungen. Lineare Gleichungen erkennt man daran, dass in der Gleichung nur Zahlen und eine Variable - zum Beispiel x - stehen (kein x², x³ usw.).Um lineare Gleichungen zu lösen benötigt man nur die Grundrechenarten, also die mathematischen Operationen: $+, -, \cdot,:$Ziel des Gleichungslösens ist es, die Variable x (kann aber aber auch einen anderen Namen haben wie z. B. a, y, z u.s.w) herauszubekommen. ...
  4. Quadratische Gleichungen lösen
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen
    Quadratische Gleichungen entstehen in der Analysis, wenn Du quadratische Funktionen mit einer Zahl oder einer Funktion gleichsetzen. Dies tritt auf bei:NullstellenberechnungBerechnung eines x-Wertes zu gegebenen y-WertSchnittpunktberechnung von zwei FunktionenNullstellenNullstellenberechnung$f(x)=3x²-4x+5$$0=3x²-4x+5$Diese quadratische Gleichung muss nun gelöst werden.x-WertBerechnung eines x-Wertes zu einem gegebenen y-Wert$f(x)=-2x²+5, y-Wert f(x)=4$$4=-2x²+5$Diese quadratische ...
  5. Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen > Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen
    ... nur einen Term ax² und einen Term bx.Die Gleichungen können so aussehen:$ax²=-bx$$0=ax²+bx$ (Nullstellenberechnung)Hier muss man die erste Gleichung so umstellen, dass diese die Form der zweiten hat.$ax²=-bx \vert +bx$$0=ax²+bx$$0=ax²+bx$Nun darf nicht einfach durch x dividiert werden, da x auch 0 sein kann und man durch 0 nicht teilen darf. Außerdem geht so die Lösung x=0 verloren.Der nächste Schritt ist daher das Ausklammern von x.$0=x\cdot ...
  6. Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen > Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen
    quadratische Funktion ohne Nullstelle
    ... ax², einen Term bx und eine Zahl c.Die Gleichungen können so aussehen:$ax²=-bx-c, ax²+bx=-c$$0=ax²+bx+c$ (Nullstellenberechnung)Diese Form der quadratischen Gleichung kann mit der p-q-Formel oder mit der quadratischen Ergänzung gelöst werden.Da die pq-Formel in jeder Formelsammlung zu finden ist, wird diese auch meist für das Lösen von quadratischen Gleichungen verwendet.Um die pq-Formel anzuwenden muss die quadratische Gleichung in der sogenannten ...
  7. Gleichungen durch Substitution lösen
    Gleichungen lösen > Gleichungen höheren Grades lösen > Gleichungen durch Substitution lösen
    Gleichungen höheren Grades können immer dann durch Substitution gelöst werden, wenn die Substitution, d.h. das Ersetzen, auf eine quadratische Gleichung führt.$x^4+6x^2=4$Es wird x² substituiert, d.h. ersetzt durch einen anderen Buchstaben z.B. a=x².Die Gleichung sieht dann so aus:a²+6a=4, diese quadratische Gleichung kann jetzt in die Normalform gebracht und mit der pq-Formel aufgelöst werden.0=a²+6a-4$a_{1,2}$=-3$ \pm \sqrt {(\frac{6}{2})^2-(-4)}$$a_{1,2}$=-3$ ...
  8. e-Funktionen lösen
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    Gleichungen lösen > e-Funktionen lösen
    Um e-Funktionen, bzw. Gleichungen mit einem e-Term zu lösen muss die Gleichung erst so umgestellt werden, dass der e-Term alleine steht.$3=-5\cdot e^{2x}+4$ /-4$-1=-5\cdot e^{2x}$ /:-5$\frac{1}{5}=e^{2x}$Im zweiten Schritt wird die Gleichung dann logarithmiert und nach x aufgelöst.$\frac{1}{5}=e^{2x}$   / ln$ln(\frac{1}{5})=ln(e^{2x})$Anwenden der Logarithmengesetze: Exponent kann vor den Logarithmus geschrieben werden.$ln(\frac{1}{5})=2x\cdot ln(e)$         ...
  9. Gleichungen durch Polynomdivision lösen
    Gleichungen lösen > Gleichungen höheren Grades lösen > Gleichungen durch Polynomdivision lösen
    Alle Gleichungen, die sich nicht durch Substitution oder Ausklammern lösen lassen, können mit der Polynomdivision gelöst werden. Voraussetzung für diese Form der Auflösung ist eine bekannte Lösung und dass die Gleichung in der Form $0=.....$ vorliegt.Nochmal: das Durchführen einer Polynomdivision ist nicht in allen Bundesländern Pflichtstoff fürs Abitur. Dennoch sollte man über die Idee dahinter Bescheid wissen.Die Gleichung $6-x^3=2x^2-5x$ soll nach ...
  10. Gleichungen höheren Grades lösen
    Gleichungen lösen > Gleichungen höheren Grades lösen
    ... wir uns mit den folgenden Besonderheiten:Gleichungen durch Ausklammern lösenGleichungen duch Substitution lösenGleichungen durch Polynomdivision lösen
Vorkenntnisse zur Analysis
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Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

  1. Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung eines linearen Gleichungssystems
    Lineare Gleichungssysteme > Lösen eines linearen Gleichungssystems > Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung eines linearen Gleichungssystems
    ... Wir wollen die Informationen, die in den Gleichungen stecken, so miteinander verbinden, dass die Lösung für alle Unbekannten ersichtlich wird.Dafür muss uns klar sein, welche Umformungen und Rechnungen bei Gleichungssystemen erlaubt sind. Generell darf man an einer Gleichung Äquivalenzumformungen vornehmen, das sind Operationen, die die Aussage einer Gleichung nicht verändern, sie also gleichwertig lassen.So ist zum Beispiel das Multiplizieren einer Gleichung mit ...
  2. Aufstellen einer Geradengleichung
    Geraden > Aufstellen einer Geradengleichung
    Gerade aus Punkt und Richtungsvektor
    Aufstellen einer Geradengleichung aus Stütz- und RichtungsvektorUm eine Gerade im $\mathbb{R}^3$ aufzustellen, reicht uns ein beliebiger Punkt der Gerade und die Richtung, in die sie zeigt.Ausführlicher: Wir nehmen den Ortsvektor $\vec{p}$ eines Punktes P der Geraden (diesen nennen wir „Stützvektor“ und den zugehörigen Punkt „Aufpunkt“) und einen Richtungsvektor $\vec{v}$. Durch eine Linearkombination von Stützvektor und einem Vielfachen des Richtungsvektors ...
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Anorganische Chemie

  1. Nernst-Gleichung
    Donator-Akzeptor-Prinzip > Redox-Chemie > Redoxreaktionen: Elektrochemie > Nernst-Gleichung
    image
    Die Nernst-Gleichung beschreibt den gerade beschriebenen Zusammenhang zwischen Elektrodenpotential eines beliebigen Redoxsystems und der Elektrolyt-Konzentration. Walter Nernst hat diese Gesetzmäßigkeit auf thermodynamischem Wege gefunden.Abbildung 24: Allgemeine Nernst-GleichungDie in Abb. 24 auftauchenden Größen werden in Tabelle 3 erklärt.Tabelle 3: Erklärung der Größen aus der NERNST-GleichungBei Raumtemperatur (T = 298 K) und nach Umformung des natürlichen ...
Anorganische Chemie
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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

  1. Beispiel einer Trassierung
    Differentialrechnung > Bestimmen von Funktionsgleichungen > Trassierung > Beispiel einer Trassierung
    Beispiel einer Trassierung
    ... überall 0.Aufstellung der BedingungsgleichungenDurch Einsetzen von u=0 und w=2 in die Funktionsgleichung bzw. die Ableitungen und gleichsetzen mit g(u), h(w) usw.  entsteht ein lineares Gleichungssystem der Bedingungsgleichungen.BedingungBedingungsgleichungVereinfachungf(0)=0$a0^5+b0^4+c0^3+d0^2+e0+f=0$f=0f(2)=3$a2^5+b2^4+c2^3+d2^2+e2+f=3$$a2^5+b2^4+c2^3+d2^2+e2+f=3$f´(0)=0$5a0^4+4b0^3+3c0^2+2d0+e=0$e=0f´(2)=0,5 $5a2^4+4b2^3+3c2^2+2d2+e=0,5$$5a2^4+4b2^3+3c2^2+2d2+e=0,5$f´´(0)=0$20a0^3+12b0^2+6c0+2d=0$d=0f´´(2)=0$20a2^3+12b2^2+6c2+2d=0$$20a2^3+12b2^2+6c2+2d=0$Lösen ...
Weiterfhrende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
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Ladungen und Felder

  1. Homogenes Feld
    Elektrische Ladungen und Felder > Elektrische Feldkonfigurationen > Homogenes Feld
    Kommen wir nun zu dem homogenen elektrischen Feld, welches eine noch einfachere Konfiguration als das radialsymmetrische Feld besitzt.Es wird sich zeigen, dass das homogene elektrische Feld in allen Punkten des Raumes eine konstante Richtung und einen konstanten Betrag besitzt. Es ist somit das einfachste denkbare elektrische Feld. Es stellt sich die Frage: Wie lässt sich das homogene elektrische Feld im Experiment realisieren?Betrachten wir dazu zwei hinreichend große entgegengesetzt ...
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Quanteneffekte & Struktur der Materie

  1. Herleitung der Compton-Formel
    Welle-Teilchen-Dualismus > Compton-Effekt > Herleitung der Compton-Formel
    Streuung eines Photons an einem Elektron
    ... Erhaltungssätzen folgen die beiden Gleichungen$E_{\gamma}+E_{e}=E_{\gamma^{'}}+E^{'}_{e}$ (Energieerhaltung),$\vec{p}_{\gamma}+\vec{0}=\vec{p}_{\gamma^{'}}+\vec{p^{'}_{e}}$ (Impulserhaltung)Durch Umformung der zweiten Gleichung erhält man unter Berücksichtigung der Formel $\vec{a}\vec{b}=\vert \vec{a}\vert \vert \vec{b}\vert\cos{\Theta}$ für das Skalarprodukt beliebiger Vektoren mit eingeschlossenem Winkel $\Theta$ folgende Herleitung$\vec{p}_{\gamma}-\vec{p}_{\gamma^{'}}=\vec{p^{'}_{e}}\quad ...
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Relativitätstheorie

  1. Relativistische Massenformel
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    Relativistische Dynamik > Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse > Relativistische Massenformel
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    ... Die beiden aufgeführten Gleichungen für $S^{'}$ werden insbesondere dann erfüllt, wenn$u_1^{'}=v$gilt.Wir nutzen nun die Umkehrformel für Geschwindigkeiten (siehe Abschnitt Relativistische Geschwindigkeitsaddition), wonach gilt$u=\frac{u_1^{'}+v}{1+\frac{u_1^{'}v}{c^2}}$.Setzen wir das soeben erhaltene Ergebnis $u_1^{'}=v$ in diese Gleichung ein, so folgt ein Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten $u$ und $v$.$\Rightarrow u=\frac{2v}{1+(\frac{v}{c})^2}$ZwischenergebnisseZwei ...
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Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

  1. Berechnung von Wendepunkten
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte > Berechnung von Wendepunkten
    Um die Wendepunkte zu berechnen, muss man folgende Schritte ausführen:die zweite und die dritte Ableitung berechnen (f''(x) und f'''(x))die zweite Ableitung = Null setzen mit f''(x)=0 die Wendestelle xW berechnen (Gleichung nach x auflösen), d.h. den x-Wert des Wendepunktes berechnenmit f'''(xW) überprüfen, ob der Wendepunkt ein RL-WP oder ein LR-WP ist.Dazu wird die Wendestelle in die dritte Ableitung eingesetzt. Ist f'''(xW) < 0 ist der Wendepunkt ein LR-WP.Ist f'''(xW) > ...
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Webinare

  1. Lineare Gleichungssysteme - Anwendungen, Lösungsstrategien und Interpretation
    ...Den Zusammenhang mehrerer Größen kann man durch Gleichungen beschreiben. Manchmal sind dazu aber auch Systeme mehrerer Gleichungen notwendig. Wir finden lineare Gleichungssysteme in allen Bereichen der Oberstufenmathematik. Grund genug, ihnen genauer auf den Grund zu gehen! Wozu diese Gleichungssysteme alles gut sind, wie man mit ihnen umgeht, sie aufstellen, lösen und i...