Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

  1. Einleitung zur weiterführenden Analysis
    Einleitung zur weiterführenden Analysis
    ... der Integralrechnung (Rotationsvolumen, Integration durch Substitution) Für jedes Unterkapitel gibt es Übungsaufgaben und am jedes großen Kapitels eine Kapitelabschlussprüfung. Schreibt bitte an support@abiweb.de, wenn ihr Fehler bemerkt, euch etwas fehlt oder ihr etwas näher erläutert haben wollt, z.B. mit einem Video. Versucht die Beispiele, die im Modul vorgerechnet werden entweder zuerst selbst zu rechnen oder ihr lest euch die Lösung erst durch und rechnet die Aufgabe nach ...
  2. Integralrechnung
    Integralrechnung
    ... der Integralrechung behandelt: partielle Integration Integration durch Substitution Rotationsvolumen
  3. partielle Integration
    Integralrechnung > partielle Integration
    Bei der Integration komplexerer Funktionen muss oft eine bisher nicht eingeführte Integrationsregel angewandt werden. Sie stellt das Gegenstück zu der aus der Differentialrechnung bekannten Produktregel dar.Seien u und v zwei stetig differenzierbare Funktionen. Die Produktregel besagt nun, dass $(u v)^\prime = u^\prime v + u v^\prime$ gilt, woraus man durch umstellen $u^\prime  v = (u v)^\prime - u v^\prime$ erhält. Auf die letzte Gleichung kann nun der Integraloperator angewendet werden und ...
  4. Integration durch Substitution
    Integralrechnung > Integration durch Substitution
    ... entsteht, ebenso wie die partielle Integration, durch die Umkehrung einer Differentiationsregel, der Kettenregel. Seien $\phi: \left[ a; b \right] \rightarrow I, F: I \rightarrow \mathbb{R}$ stetig differenzierbar und $f:=F^\prime$, dann lautet die Kettenregel: $(F(\phi(t)))^\prime = F^\prime(\phi(t)) \phi^\prime(t) = f(\phi(t)) \phi^\prime(t)$. Integriert man diese Gleichung, ergibt sich die Substitutionsregel: $\int_a^b f(\phi(t)) \phi^\prime(t) \mathrm{d}t = F(\phi(b))-F(\phi(a)) ...
  5. Rotationsvolumen
    Integralrechnung > Rotationsvolumen
    Rotationsvolumen
    ... Führt man sich nun vor Augen, dass die Integration als Summation verstanden werden kann, so ist es natürlich den Ansatz $V=\int_a^b A(x) \mathrm{d}x$ zu wählen. Daraus errechnet man leicht die Volumenformel $V=\pi \int_a^b (f(x))^2 \mathrm{d}x$. Im nachfolgenden Video geht es in einer Abituraufgabe auch um das Rotationsvolumen. Das Video wird geladen ...
Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
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Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

  1. Einführung in die Integralrechnung
    Einführung in die Integralrechnung
    Einführung in die Integralrechnung
    ... geht es um die Hinführungs zum Integral, die Integrationsregeln und die Berechnung des unbestimmten und des bestimmten Integrals.
  2. Integrationsregeln
    Einführung in die Integralrechnung > Integrationsregeln
    Die vier wichtigsten Integrationsregeln sind: Summenregel Faktorregel Potenzregel lineare Substitution Die Summen- und die Faktorregel sind wie bei den Ableitungsregeln und werden hier kurz erklärt. Eine ausführliche Erläuterung der Potenzregel und der linearen Substitution erhälst du auf den nächsten zwei Seiten. Die Summenregel Summenregel der Integration Eine Summe wird integriert, in dem du jeden Term einzeln integrierst. $\int{}{}(f(x)+g(x))$ dx =$\int{}{}f(x)$ dx+$\int{}{}g(x)$ ...
  3. Potenzregel der Integration
    Einführung in die Integralrechnung > Integrationsregeln > Potenzregel der Integration
    ... $f´(x)=n\cdot x^{n-1}$ Potenzregel der Integration: $f(x)=x^n$  ->  $\int{}{}f(x)dx=\frac{1}{n+1}\cdot x^{n+1}$+C einfaches Beispiel $\int{}{}x³dx=\frac{1}{3+1}\cdot x^{3+1}+C=\frac{1}{4}\cdot x^{4}$+C Beispiel mit Summenregel $\int{}{}(x²+x)dx=\int{}{}x²dx+\int{}{}x^1dx $ $\ =\frac{1}{2+1}\cdot x^{2+1}+\frac{1}{1+1}\cdot x^{1+1}+C $ $\ =\frac{1}{3}\cdot x^{3}+\frac{1}{2}\cdot x^{2} +C $ Beispiel mit Faktorregel $\int{}{}\frac{5}{x^4} dx $ $\ =\int{}{}5\cdot ...
  4. Integralrechnung - graphisches Integrieren
    Integralrechnung - graphisches Integrieren
    ... zur Integralrechnung wie Rotationsvolumen, Integration durch Substitution und partielle Integration werden im Kurs Analysis II behandelt.
Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
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Deutschland nach 1945

  1. Das zerstörte Deutschland
    Besatzungszeit > Das zerstörte Deutschland
    ... Gesellschaft. Zum anderen kommt das Problem der Integration der Flüchtlinge aus den Ostgebieten dazu. 16 Millionen Vertriebene und Flüchtlinge mussten in die Besatzungszonen integriert werden. Die Flüchtlinge wurden als Fremde und Störende wahrgenommen und bekamen dieses von der einheimischen Bevölkerung auch zu spüren. Damit die Integration gelang, wurde zuerst verboten, dass sich die Vertriebenen und Flüchtlinge in Gruppen zusammenschlossen und es mussten Gesetze für eine bessere Integration ...
  2. Die Regierung Adenauers bis 1961
    Die BRD > Ära Adenauer > Die Regierung Adenauers bis 1961
    Die Regierung Adenauers bis 1961
    ... Politik war die wirtschaftliche und politische Integration der BRD in Westeuropa und die Herstellung der außenpolitischen Handlungsfreiheit. Bereits durch das Petersberger Abkommen, erreichte Adenauer, dass die BRD konsularische Beziehungen zu anderen Ländern aufnehmen und internationalen Organisationen beitreten durfte. Durch die Aussöhnung mit Frankreich und die Herstellung eines partnerschaftlichen Verhältnisses sollte die BRD weiter in den Westen eingebunden werden. In dieses Konzept passte ...
  3. Abituraufgabe
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Die BRD > Abituraufgabe
    ... zwei Staaten dar und nehmen sie Bezug zur Westintegration in den frühen Jahren der BRD. Bearbeiten Sie dabei folgende Aufgaben: − Skizzieren Sie den historischen Hintergrund und charakterisieren sie die wichtigsten Etappen der Westintegration unter Konrad Adenauer. − Setzen sie sich vor dem Hintergrund des Kontextes mit den beiden Thesen auseinander. Laut Gustav Heinemann wäre durch eine Annäherung an den Osten eine Wiedervereinigung bereits in der frühen BRD möglich gewesen und ...
Deutschland nach 1945
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Neurobiologie

  1. Gehirn - Aufbau und Funktion
    Nervensystem - bei Wirbellosen und Wirbeltieren > Nervensystem: ZNS-PNS-ANS > Gehirn - Aufbau und Funktion
    ... wahrgenommenen Sinneseindrücke, es erlaubt Integration und Koordination. Das Gehirn gehört zum zentralen Nervensystem und ist durch den aus mehreren Teilen bestehenden knöchernen Schädel geschützt. Gliederung des Gehirns Hauptabschnitte Unterabteilung Hauptbestandteile Prosencephalon Telencephalon, Großhirn Großhirnrinde subkortikale Kerne Limbisches System Diencephalon, Zwischenhirn Epithalamus, Thalamus, Hypothalamus, Hypophyse Mesencephalon Mittelhirn Pedunculi ...
  2. Weitergabe der Hormoninformation
    Hormone > Weitergabe der Hormoninformation
    Weitergabe der Hormoninformation
    ... Aktivierung vieler G-Proteine und Folgeenzyme. Integration – mehrere auf die Zelle treffende Signale können gleichzeitig von einem System verarbeitet werden. Bei der Vielzahl der Hormone verliert man leicht den Überblick. Daher das Durcheinander ordnen, indem man sich die Chemie der Hormone vergegenwärtigt. Das hilft beim Ableiten der Funktion, Wirkungsweise, Rezeptorbestimmung etc.
  3. Beispiel-Regelkreis - Blutzuckerspiegel
    Hormone > Homöostase – Prozessregulierung im Körper > Beispiel-Regelkreis - Blutzuckerspiegel
    Beispiel-Regelkreis -  Blutzuckerspiegel
    ... hohe Ausschüttungen, verminderte Rezeptorintegration, meist bei Essstörungen, wie z.B. Adipositas, oder im Alter Die Blutzuckerkonzentration ist von den Gegenspieler-Hormone Insulin und Glukagon abhängig.
Neurobiologie
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Weltpolitische Wende und die Wiedervereinigung Deutschlands

  1. Reaktionen der Allierten
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Die Wiedervereinigung Deutschlands > Reaktionen der Allierten
    Reaktionen der Allierten
    ... der Deutschen. Zweitens die Integration eines wiedervereinigten Deutschlands in die NATO. Drittens dass der Prozess der Vereinigung schrittweise und geregelt abläuft. Viertens das Einhalten der KSZE-Schlussakte und besonders die Unverletzlichkeit der Grenze Polens. Die Sowjetunion hatte bei den Verhandlungen über die Wiedervereinigung eine Schlüsselrolle inne, da ohne die Zustimmung der UdSSR keine Wiedervereinigung möglich gewesen wäre. Damit die Vereinigung gelingen ...
  2. Abituraufgabe
    Die Wiedervereinigung Deutschlands > Abituraufgabe
    ... Besatzungszone gegründet wurde, begann die Ostintegration der DDR in den Ostblock als Reaktion der Westintegration der BRD. Die Planwirtschaft wurde als Marktsystem eingeführt und der Antifaschismus, Antikapitalismus, Antiimperialismus und der Sozialismus in die Verfassung der DDR aufgenommen. Wichtig war für die DDR auch das Ministerium für Staatssicherheit und die daraus resultierende Stasi, die die DDR zu einem Überwachungsstaat machte. Im Laufe der DDR-Geschichte verstärkte sich die ...
Weltpolitische Wende und die Wiedervereinigung Deutschlands
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Das Kaiserreich

  1. Die Gesellschaft im Kaiserreich
    Das Kaiserreich > Die Gesellschaft im Kaiserreich
    Die Gesellschaft im Kaiserreich
    Gesellschaftliche Integration als neue Aufgabe Nach der Reichsgründung 1871 wurde die gesellschaftliche Integration zur einer neuen großen Aufgabe. Die Menschen im Reich identifizierten sich meistens noch regional geprägt. Ein Sachse fühlte sich also hauptsächlich als Sachse und erst danach als Deutscher. Die Tatsache, dass es neben der deutschen Staatsangehörigkeit auch weiterhin die sächsische, bayerische oder preußische Staatsangehörigkeit gab, unterstützte dieses Denken. Das Ziel einen ...
  2. Abituraufgabe
    Das Kaiserreich > Abituraufgabe
    ... Zuwachs, obwohl zunächst die gesellschaftliche Integration zur einer neuen großen Aufgabe wurde, da sich die Menschen im Reich meistens noch stark regional identifizierten. Ein Grund dafür war das wachsende Ansehen des Militärs, welches vor allem während der Kriege 1864–1871 stark an Einfluss und Ansehen gewonnen hatte. Die preußischen Offiziere galten in der Gesellschaft zunehmend als Vorbilder und durch Feierlichkeiten, Paraden und Gedenktage zeigte das Militär auch im Alltagsleben immer ...
Das Kaiserreich
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Relativitätstheorie

  1. Relativistische Energie
    Relativistische Dynamik > Relativistische Messgrößen > Relativistische Energie
    ... $E_{kin}=\int_{0}^{u}v\frac{dp}{dv}\,dv$ Die Integration ist hier über die Geschwindigkeitsvariable auszuführen, wobei $u$ die Endgeschwindigkeit des Körpers nach dem Durchlaufen der Streckenlänge $s$ ist. Wir wissen, dass $\frac{dp}{dv}$ die Ableitung des Impulses nach der Geschwindigkeit ist. Gleichzeitig ist aus vorhergehenden Erkenntnissen des Kapitels bekannt, dass $p(v)=m(v)v$ gilt. Um die entsprechende Ableitung zu ermitteln, müssen wir die Produktregel der Analysis anwenden $\frac{dp}{dv}=\frac{dm(v)}{dv}v+m(v)\underbrace{\frac{dv}{dv}}_{1}=\frac{dm(v)}{dv}v+m(v)$ Die ...
Relativitätstheorie
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Ladungen und Felder

  1. Homogenes Feld
    Elektrische Ladungen und Felder > Elektrische Feldkonfigurationen > Homogenes Feld
    ... Daher kann man durch Umkehrung, das heißt Integration, von der Beschleunigung zur Geschwindigkeit gelangen. Führt man dann eine Integration der Geschwindigkeitsfunktion aus, so erhält man die Weg-Funktion.
Ladungen und Felder
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Neuordnung der Welt nach 1945

  1. Das Ende des Kalten Krieges
    Was war der Kalte Krieg? > Das Ende des Kalten Krieges
    Das Ende des Kalten Krieges
    ... aufgrund der nach dem Konflikt stattgefundenen Integration Osteuropas in die NATO und EU, als Sieger des Konfliktes gewertet werden. 
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