Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)
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Geraden
Geraden
Bisher kennen wir Geraden hauptsächlich aus der Analysis - und zwar als Schaubilder von linearen Funktionsgleichungen. Eine Gerade war also die graphische Darstellung eines "einfachen" (linearen) Zusammenhangs zwischen x- und y-Wert. Jetzt wollen wir einen Schritt weitergehen und Geraden in den dreidimensionalen Raum übertragen. Hierbei stellen wir uns in diesem Kapitel folgende Fragen:Wie gehen wir jetzt mit Geraden im Dreidimensionalen um? Wie "sehen" solche Geraden denn "aus"?Wie können ... -
Lage von Geraden
Geraden > Lage von Geraden
Hat man mit mehreren Geraden zu tun, so interessiert meist die gegenseitige Lage der Geraden zueinander.In der (zweidimensionalen) Ebene war dies einfach. Entweder haben sich die Geraden geschnitten oder sie waren parallel zueinander. Als Spezialfall der Parallelität konnten die Geraden auch aufeinander liegen, man sagt dann auch sie sind identisch.Als zusätzliche Möglichkeit im $\mathbb{R}^3$ können die Geraden jetzt auch „schräg aneinander vorbei“ laufen. Sie ... -
Spiegelung an einer Ebene
Spiegelungen > Spiegelung an einer Ebene
... Der Schnittpunkt unserer Ebene mit der Hilfsgeraden liefert den Lotfußpunkt. Anschließend muss der gegebene Punkt nur noch an diesem gespiegelt werden, um den gesuchten Bildpunkt zu erhalten.Spiegelung einer Geraden an einer EbeneHier sind zwei Fälle zu unterscheiden: Wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft und wenn die Gerade die Ebene schneidet. Im ersten Fall nimmt man sich einen beliebigen Punkt der Geraden, spiegelt diesen an der Ebene und nimmt den Bildpunkt ... -
Spiegelung an einer Geraden
Spiegelungen > Spiegelung an einer Geraden
Spiegelung eines Punktes an einer GeradenMöchte man einen Punkt P an einer Geraden spiegeln, brauchen wir dazu den Punkt S auf der Geraden, der zu P die kleinste Entfernung hat. Wie kommen wir zu diesem?In der Darstellung erkennt man, dass die Verbindung von P zu S senkrecht zur Gerade steht. $\overrightarrow{PS}$ ist orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden. Das hilft uns schon ein Stück weiter, aber S haben wir damit noch nicht bestimmt. Wir greifen hier zu einem kleinen Trick...und ... -
Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
Lagebeziehungen und Abstände > Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
PunkteEin Punkt kann entweder auf einer Geraden liegen oder nicht. Überprüfen können wir das mithilfe einer Punktprobe (vgl. Abschnitt Geraden). Genauso gilt das für Ebenen: Setzt man die Koordinaten des Punktes in eine Ebenengleichung ein und die Gleichung ist erfüllt, so liegt der Punkt auf der Ebene. Andernfalls können wir den Abstand des Punktes von der Ebene bzw. von einer Gerade berechnen (vgl. Abschnitt Abstände).Gerade – GeradeWie zwei Geraden zueinander ... -
Aufstellen einer Geradengleichung
Geraden > Aufstellen einer Geradengleichung
Aufstellen einer Geradengleichung aus Stütz- und RichtungsvektorUm eine Gerade im $\mathbb{R}^3$ aufzustellen, reicht uns ein beliebiger Punkt der Gerade und die Richtung, in die sie zeigt.Ausführlicher: Wir nehmen den Ortsvektor $\vec{p}$ eines Punktes P der Geraden (diesen nennen wir „Stützvektor“ und den zugehörigen Punkt „Aufpunkt“) und einen Richtungsvektor $\vec{v}$. Durch eine Linearkombination von Stützvektor und einem Vielfachen des Richtungsvektors ... -
Eine Gerade - viele Gleichungen?
Geraden > Eine Gerade - viele Gleichungen?
... wir im vorherigen Kapitel die Gleichung einer Geraden aufgestellt haben. Wir haben einen beliebigen Punkt der Geraden als Aufpunkt gewählt.Nun besteht eine Gerade aber aus unendlich vielen Punkten – und jeder dieser Punkte kann als Aufpunkt genommen werden ohne deswegen eine andere Gerade zu bekommen.Die Geradengleichungen $\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}$, $\vec{x}=\begin{pmatrix} 3\\2\\3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} ... -
Abstände von Geraden
Lagebeziehungen und Abstände > Abstandsprobleme > Abstände von Geraden
Abstand zweier paralleler Geraden g und hMan nehme einen Punkt P auf g und lege eine zu g und h orthogonale Ebene E durch den Punkt. Der Schnittpunkt von E mit der Geraden h liefert den Lotfußpunkt S. Der Abstand der beiden Geraden voneinander entspricht dem Betrag des Vektors $\overrightarrow{SP}$. Da die Geraden überall denselben Abstand haben (Parallelität!), kann jeder beliebige Punkt einer Geraden als Ausgangspunkt der Konstruktion genommen werden.Abstand zweier windschiefer ... -
Lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme
... zu lösen (z.B. um den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen), werden nun die Aufgabenstellungen etwas komplexer.Im folgenden Kapitel betrachten wir zunächst einmal Lösungsstrategien, um so ein Gleichungssystem zu knacken. Dabei können wir unabhängig von der Mächtigkeit eines solchen Systems vorgehen. Anschließend werden wir uns konkreten Aufgabenstellungen widmen.In der Analytischen Geometrie benötigen wir Gleichungssysteme häufig für Schnittprobleme ... -
Abstände von Punkten
Lagebeziehungen und Abstände > Abstandsprobleme > Abstände von Punkten
... eines Punktes P von einer Geraden gHier benötigen wir eine kleine Hilfskonstruktion: Wir legen eine Ebene H durch den Punkt P, die zusätzlich senkrecht zur Geraden g ausgerichtet sein soll. Dies geht am einfachsten mit der Normalenform einer Ebene, dann wird der Richtungsvektor der Geraden zum Normalenvektor der Ebene H. Der Schnittpunkt S von Gerade und Ebene ist der Lotfußpunkt zum gegebenen Punkt P. Der Abstand von Gerade und Punkt entspricht dem Betrag ... -
Spiegelung an einem Punkt
Spiegelungen > Spiegelung an einem Punkt
... 1 zu 1 übertragen.Spiegelung einer Geraden an einem PunktEine Gerade g kann an einem Punkt S gespiegelt werden, indem man zwei Punkte der Geraden am Punkt S spiegelt und anschließend eine Gerade durch die beiden gespiegelten Punkte legt.Die Gerade g mit $\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ soll am Punkt $S(2|2|2)$ gespiegelt werden.Als Punkte von g wählen wir den Aufpunkt $A(1|2|0)$ und einen weiteren Punkt ... -
Schnitte von Geraden
Geraden > Schnitte von Geraden
Wenn sich zwei Geraden g und h schneiden bedeutet das ja, dass sie genau einen Punkt – den Schnittpunkt – gemeinsam haben. Es gibt also einen Ortsvektor $\vec{x}$, der sowohl die Geradengleichung für g als auch die für h erfüllt. Die Koordinaten dieses Vektors bekommt man heraus, indem man die Geradengleichungen gleichsetzt. Bildlich gesprochen berechnet man, wie weit man auf den Geraden vom Aufpunkt in Richtung des Richtungsvektors gehen muss, bis man auf der anderen Gerade ... -
Schnitt Gerade-Gerade
Schnitte > Schnitt Gerade-Gerade
Über die Untersuchung der Lage zweier Geraden zueinander gibt es ein anderes Kapitel. Hier wollen wir uns mit einem Beispiel für den Schnitt zweier Geraden begnügen.Berechne den Schnittpunkt der Geraden $g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\-1\\3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix}$ und $h: \vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\4\\4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\3 \end{pmatrix}$. Hierzu setzen wir die Geraden gleich und lösen das Gleichungssystem: $g \cap ... -
Schnitt Ebene-Gerade
Schnitte > Schnitt Ebene-Gerade
... den Schnittpunkt zu berechnen, müssen wir Geraden- und Ebenengleichung gleichsetzen, wenn die Ebene in Parameterdarstellung gegeben ist. Ähnlich wie beim Schnitt von Geraden erhalten wir wieder ein lineares Gleichungssystem, jetzt allerdings mit drei Unbekannten (nämlich den Parametern aus den Gleichungen). Einfacher gestaltet sich die Bestimmung des Schnittpunktes, wenn die Ebene in Koordinaten- oder Normalenform vorliegt. Dann setzen wir einfach für den Vektor $\vec{x}$ in ... -
Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?
Lineare Gleichungssysteme > Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?
... Schnitte von Ebenen und Ebenen, Ebenen und Geraden oder Geraden und Geraden untersucht.Bestimmung ganzrationaler Funktionen: Mittels LGS können die Koeffizienten von Funktionsgleichungen aus gegebenen Eigenschaften der Funktion bzw. ihres Graphen bestimmt werden.Anwendungsbezogene Aufgaben: Für Mischungen wird nach einem bestimmten Mischungsverhältnis gesucht oder die Herstellung verschiedener Produkte aus Rohstoffen wird durch LGS beschrieben.
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Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
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Klassifizierung der Nullstellen
Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > Klassifizierung der Nullstellen
... mit ungeradem GradAlle Funktionen, die einen ungeraden Grad n haben wie z. B. x³+x² oder x+2, haben mindestens eine Nullstelle, maximal n Nullstellen. D. h. der Grad der Funktion bestimmt die maximale Anzahl der Nullstellen.Kubische Funktion mit einer NullstelleKubische Funktion mit zwei NullstellenKubische Funktion mit drei Nullstellenf(x)=3$x^5$-4x²Die Funktion hat den Grad 5, da 5 der höchste Exponent ist. Also hat die Funktion mindestens eine Nullstelle, da der Grad ungerade ... -
Wertebereich
Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Wertebereich
... ungerade oder gerade ist.Funktionen mit einem ungeraden höchsten ExponentenDa bei Funktionen mit einem ungeraden höchsten Exponenten wie z.B. $x^3$+$x^2$ oder $x^5$ der Graph der Funktion quer durch das gesamte Koordinatensystem geht, sind im Wertebereich alle reelen Zahlen enthalten.W = IRD.h. alle reelen Zahlen bilden den Wertebereich.Funktion mit ungeradem Grad höchsten ExponentenFunktionen mit einem geraden höchsten ExponentenBei Funktionen mit einem ... -
Symmetrie
Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Symmetrie
... SymmetrieAlle Funktionen mit geraden und ungeraden Exponenten sind unsymmetrisch bzw. nicht symmetrisch.f(x)=$x^4$+2x³+5xumgeschrieben: f(x)=$x^4$+2x³+5$x^1$ Die Exponenten der Funktion lauten damit: 4,3,1. Diese Funktion ist nicht symmetrisch, da gerade und ungerade Exponenten auftreten. -
Wendepunkte
Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte
Wendepunkte sind die Punkte, an denen sich die Krümmung ändert bzw. wendet. Am Wendepunkt selbst gibt es keine Krümmung. Anschaulich stellt man sich am besten eine Strasse von oben vor, auf welcher man Fahrrad fährt. Z.B. erst eine Links- und dann eine Rechtskurve. An dem Punkt, an dem man den Lenker gerade hält, ist der Wendepunkt.Im folgenden Video wird das Krümmungsverhalten an den Wendepunkten erläutert.Das Video wird geladen...(wendepunkte-kruemmungsverhalten)Am ...
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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
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Tangenten- und Normalengleichungen
Differentialrechnung > Tangenten- und Normalengleichungen
... ist wichtig zu wissen, dass die Gleichung einer Geraden durch $g(x)=m x + n$ definiert wird. Tangenten und Normalen sind ja Geraden. Außerdem muss du wissen, dass die Steigung an einer Stelle durch die Ableitung an einer Stelle berechnet werden kann und das Tangente und Normale senkrecht aufeinander stehen.Steigung an der Stelle $x_0$ = Ableitung an der Stelle $x_0$$m=f^\prime(x_0)$Tangente und Normale stehen senktrecht aufeinander (sind orthogonal), so dass das Produkt ihrer Steigungen ...
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Quanteneffekte & Struktur der Materie
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Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums
Welle-Teilchen-Dualismus > Photoeffekt - Die Gegenfeldmethode - quantitative Analyse > Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums
... $f$. Falls man mit $h$ die Steigung der Geraden bezeichnet, so erhält man $E_{kin}(f)=hf-W_A$. Darin ist $W_A$ ein vom (Kathoden)material abhängiger Wert.Die Steigung $h$ ist vom verwendeten Material unabhängig.Dies deutet darauf hin, dass $h$ eine Naturkonstante ist, deren Wert man aus der Steigung der linearen Funktion $E_{kin}(f)$ bestimmen kann.Das Plancksche Wirkungsquantum $h$Die aus dem Versuch gewonnene Steigung der Funktion $E_{kin}(f)$ ist eine Naturkonstante, die ...
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Webinare
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...or:#FF0000;">Geraden- und Ebenengleichungen Neben vielen hilfreichen Übungen, Hinweisen und Tipps kannst du natürlich auch Fragen stellen. Nimm auch an unserem nächsten Mathe-Webinar teil Stochastik - perfekt vorbereitet für dein Mathe-Abi! (17.04.2023, 16 Uhr) ... -
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....2021, 15 Uhr) Mathe-Abi - So löst du deine GK-Abituraufgabe! (09.03.2021, 15 Uhr) Mathe-Abi - So löst du deine LK-Abituraufgabe! (11.03.2021, 15 Uhr) ... -
Geraden - Gegenseitige Lage bestimmen, Schnitt von Geraden, Anwendungsaufgaben
...ie noch etwas genauer anschauen: das Arbeiten mit Geraden. Durch Kombination zweier Vektoren (Stütz- und Richtungsvektor) lassen sich Geraden im Raum beschreiben. Und damit rechnen! So können wir ohne eine Zeichnung anzufertigen rechnerisch klären, ob Geraden parallel zueinander sind, sich schneiden oder gar â... -
Arbeiten mit Vektoren - Abstände und Winkel
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Inputseminar: ALGEBRA
...;">Geraden in Anwendungsaufgaben... -
Vektoren und Geraden
...hlt. Ein kurze Wiederholung der Grundlagen führt in das Seminar ein. Anhand von ausgewählten Abituraufgaben zeigt er Euch Lösungsstrategien und Herangehensweisen für diesen Aufgabentyp. Ihr könnt Eure Fragen per Chatfenster stellen oder auch direkt mit Andreas während des Seminars reden und Matheproblem klären. Wir freuen uns auf Eure Teilnahme!... -
Analytische Geometrie und Lineare Algebra
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- Wendepunkte, Wahrscheinlichkeit, Worauf muss ich bei einer Analyse achten? Sprachanalyse Basiswissen
- x-Wert berechnen, x-Achse, x-Wert berechnen
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