Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

  1. Geraden
    Geraden
    Bisher kennen wir Geraden hauptsächlich aus der Analysis - und zwar als Schaubilder von linearen Funktionsgleichungen. Eine Gerade war also die graphische Darstellung eines "einfachen" (linearen) Zusammenhangs zwischen x- und y-Wert. Jetzt wollen wir einen Schritt weitergehen und Geraden in den dreidimensionalen Raum übertragen. Hierbei stellen wir uns in diesem Kapitel folgende Fragen:Wie gehen wir jetzt mit Geraden im Dreidimensionalen um? Wie "sehen" solche Geraden denn "aus"?Wie können ...
  2. Aufstellen einer Geradengleichung
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Geraden > Aufstellen einer Geradengleichung
    Gerade aus Punkt und Richtungsvektor
    Aufstellen einer Geradengleichung aus Stütz- und RichtungsvektorUm eine Gerade im $\mathbb{R}^3$ aufzustellen, reicht uns ein beliebiger Punkt der Gerade und die Richtung, in die sie zeigt.Ausführlicher: Wir nehmen den Ortsvektor $\vec{p}$ eines Punktes P der Geraden (diesen nennen wir „Stützvektor“ und den zugehörigen Punkt „Aufpunkt“) und einen Richtungsvektor $\vec{v}$. Durch eine Linearkombination von Stützvektor und einem Vielfachen des Richtungsvektors ...
  3. Eine Gerade - viele Gleichungen?
    Geraden > Eine Gerade - viele Gleichungen?
    ... wir im vorherigen Kapitel die Gleichung einer Geraden aufgestellt haben. Wir haben einen beliebigen Punkt der Geraden als Aufpunkt gewählt.Nun besteht eine Gerade aber aus unendlich vielen Punkten – und jeder dieser Punkte kann als Aufpunkt genommen werden ohne deswegen eine andere Gerade zu bekommen.Die Geradengleichungen $\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}$, $\vec{x}=\begin{pmatrix} 3\\2\\3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} ...
  4. Lage von Geraden
    Geraden > Lage von Geraden
    Fallunterscheidung Geraden
    Hat man mit mehreren Geraden zu tun, so interessiert meist die gegenseitige Lage der Geraden zueinander.In der (zweidimensionalen) Ebene war dies einfach. Entweder haben sich die Geraden geschnitten oder sie waren parallel zueinander. Als Spezialfall der Parallelität konnten die Geraden auch aufeinander liegen, man sagt dann auch sie sind identisch.Als zusätzliche Möglichkeit im $\mathbb{R}^3$ können die Geraden jetzt auch „schräg aneinander vorbei“ laufen. Sie ...
  5. Schnitte von Geraden
    Geraden > Schnitte von Geraden
    Wenn sich zwei Geraden g und h schneiden bedeutet das ja, dass sie genau einen Punkt – den Schnittpunkt – gemeinsam haben. Es gibt also einen Ortsvektor $\vec{x}$, der sowohl die Geradengleichung für g als auch die für h erfüllt. Die Koordinaten dieses Vektors bekommt man heraus, indem man die Geradengleichungen gleichsetzt. Bildlich gesprochen berechnet man, wie weit man auf den Geraden vom Aufpunkt in Richtung des Richtungsvektors gehen muss, bis man auf der anderen Gerade ...
  6. Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    ... Vektoren zum Beschreiben von Figuren (Punkten, Geraden) benutzt und mehrere Vektoren zu neuen kombiniert, um Abhängigkeiten aufzudecken. Jetzt wollen wir hauptsächlich messen und Größen mithilfe von Vektoren bestimmen.Für eine Längenmessung brauchen wir so etwas wie ein Maßband, also eine normierte Standardeinheit. Nachdem wir bereits den Betrag eines Vektors kennen gelernt haben werden wir uns damit jetzt ein solches Maß basteln: Wir normieren.Auch zur ...
  7. Vektoren und Winkel
    Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Vektoren und Winkel
    Um später Schnittwinkel zwischen Geraden und/oder Ebenen ausrechnen zu können, benutzt man wiederum die gegenseitige Lage zweier Vektoren zueinander. Für den Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt:$\cos{\alpha}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ mit $0 \le \alpha \le 180^\circ $. Für die Größe des Winkels zwischen den Vektoren $\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 4\\0\\3 \end{pmatrix}$ ...
  8. Ebenen in der analytischen Geometrie
    Ebenen in der analytischen Geometrie
    Nachdem einige Kapitel zuvor Geraden im Dreidimensionalen beschrieben wurden, wenden wir uns jetzt den Ebenen zu. Nachdem wir mit Geraden im Zweidimensionalen schon lange umgehen ("$y=m \cdot x + c$"), begegnen uns mit Ebenen die ersten wirklich neuen Figuren. Für diese ist die räumliche Umgebung zwingend notwendig, erst dann können wir sie in all ihren Eigenschaften und ihrer ganzen (unendlich weiten) Ausdehnung erfassen.Zur Beschreibung von Ebenen gibt es in der Analytischen Geometrie ...
  9. Koordinatenform einer Ebene
    Ebenen in der analytischen Geometrie > Koordinatenform einer Ebene
    ... miteinander zusammenhängen.Anmerkung: Bei Geraden im Zweidimensionalen war uns bislang sogar nur die Darstellung in Koordinatenform vertraut. Eine Geradengleichung wie zum Beispiel $y=2x-3$ ist ja in anderen Koordinaten nichts anderes wie $x_2=2x_1-3$ und damit $2x_1-x_2=3$, was uns sehr an obige Darstellung erinnern sollte.Die Gleichung $2x_1+x_2+2x_3=4$ beschreibt eine Ebene im $\mathbb{R}^3$.Vorteil der Darstellung in KoordinatenformDie Vorteile dieser Darstellung sind unter anderem eine ...
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Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

  1. Symmetrie
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Symmetrie
    Minimum fr die Funktion f(x)=x2
    ... SymmetrieAlle Funktionen mit geraden und ungeraden Exponenten sind unsymmetrisch bzw. nicht symmetrisch.f(x)=$x^4$+2x³+5xumgeschrieben: f(x)=$x^4$+2x³+5$x^1$ Die Exponenten der Funktion lauten damit: 4,3,1. Diese Funktion ist nicht symmetrisch, da gerade und ungerade Exponenten auftreten.  
  2. Klassifizierung der Nullstellen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > Klassifizierung der Nullstellen
    Kubische Funktion mit einer Nullstelle
    ... mit ungeradem GradAlle Funktionen, die einen ungeraden Grad n haben wie z. B. x³+x² oder x+2, haben mindestens eine Nullstelle, maximal n Nullstellen. D. h. der Grad der Funktion bestimmt die maximale Anzahl der Nullstellen.Kubische Funktion mit einer NullstelleKubische Funktion mit zwei NullstellenKubische Funktion mit drei Nullstellenf(x)=3$x^5$-4x²Die Funktion hat den Grad 5, da 5 der höchste Exponent ist. Also hat die Funktion mindestens eine Nullstelle, da der Grad ungerade ...
Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
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Stochastik

  1. Mittelwert, Median und Modus
    Beschreibende Statistik > Mittelwert, Median und Modus
    ... der Wert, der in der Mitte steht, bei einer ungeraden Anzahl von Messwerten. Sonst verwendet man als Median den Mittelwert der beiden mittleren Messwerte.Bestimmen des Medians1. Die Messwerte der Größe nach sortieren es ergibt sich die Liste $x_1 , x_2 , \dots , x_n$2. Die Anzahl n der Messwerte bestimmen.3a. 1.Fall: n ist ungeradedann ist der Median der Messwert an der Stelle $\frac{n+1}{2}$ also $\large \bf \tilde{x} = x_{\frac{n+1}{2}}$3b. 2.Fall: n ist geradedann ist der Median ...
  2. Dichtefunktion der Normalverteilung
    Normalverteilung > Dichtefunktion der Normalverteilung
    2 Graphen von Dichten von Normalverteilungen
    ... $\mu$, die Graphen sind symmetrisch zur Geraden $x=\mu$ und haben für $x \rightarrow \pm \infty$ die x-Achse als Asymptote. Mit zunehmender Standardabweichung $\sigma$ werden ihre Graphen flacher und breiter, umso kleiner $\sigma$ wird umso höher und schmaler werden die Graphen.Standard-NormalverteilungIst $X \sim N (0 ; 1 )$-verteilt, so nennt man $X$ standardnormalverteilt die Dichte der Standard-Normalverteilung wird mit einem $ \large \bf \varphi $ bezeichnet ...
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Stoffwechsel

  1. Gesamtsumme des Glukoseabbaus über die Vorgänge der Zellatmung
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    Zellatmung > Gesamtsumme des Glukoseabbaus über die Vorgänge der Zellatmung
    Vorgnge der Zellatmung. Die Glykolyse ist im Zytoplasma lokalisiert, alle der oxidativen Decarboxylierung nachfolgenden Schritte erfolgen in den Mitochondrien.
    ... liegen die Werte etwas niedriger, mit ungeraden Werten (pro Mol NADH+H+ 2,5 Mol ATP; pro Mol FADH2 1,5 Mol ATP).Vorgänge der Zellatmung. Die Glykolyse ist im Zytoplasma lokalisiert, alle der oxidativen Decarboxylierung nachfolgenden Schritte erfolgen in den Mitochondrien.
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Physikalische Chemie

  1. Fotometrie
    Kinetik: rund um die Reaktionsgeschwindigkeit > Anwendungsbeispiele > Fotometrie
    Aufbau eines Fotometers
    ... und damit auch die Extinktion.Mithilfe von Eichgeraden lässt sich dann direkt aus den Extinktionswerten die Konzentration ablesen, die Zeit muss dabei korrelierend festgehalten werden. Über dieses Prozedere ist es dann möglich, entsprechend die Reaktionsgeschwindigkeit zu berechnen.Eine Eichgerade ist eine Gerade in einem Extinktions-Konzentrationsdiagramm, welches durch Messung der Extinktion bei bekannter Konzentration vor jedem Versuch festgelegt werden muss oder aus tabellierten ...
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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

  1. Tangenten- und Normalengleichungen
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    Differentialrechnung > Tangenten- und Normalengleichungen
    ... ist wichtig zu wissen, dass die Gleichung einer Geraden durch  $g(x)=m x + n$ definiert wird. Tangenten und Normalen sind ja Geraden. Außerdem muss du wissen, dass die Steigung an einer Stelle durch die Ableitung an einer Stelle berechnet werden kann und das Tangente und Normale senkrecht aufeinander stehen.Steigung an der Stelle $x_0$ = Ableitung an der Stelle $x_0$$m=f^\prime(x_0)$Tangente und Normale stehen senktrecht aufeinander (sind orthogonal), so dass das Produkt ihrer Steigungen ...
Weiterfhrende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)
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Webinare

  1. Geraden - Gegenseitige Lage bestimmen, Schnitt von Geraden, Anwendungsaufgaben
    ...ie noch etwas genauer anschauen: das Arbeiten mit Geraden. Durch Kombination zweier Vektoren (Stütz- und Richtungsvektor) lassen sich Geraden im Raum beschreiben. Und damit rechnen! So können wir ohne eine Zeichnung anzufertigen rechnerisch klären, ob Geraden parallel zueinander sind, sich schneiden oder gar ...
  2. Arbeiten mit Vektoren - Abstände und Winkel
    ... der Vektorrechnung, beschreiben und arbeiten mit Geraden und Ebenen und stellen die wichtigsten Aufgabentypen mit den entsprechenden Lösungsstrategien für das Abitur vor. Das Erarbeitete wird direkt im Webinar vertieft und geübt, Fragen können natürlich jederzeit im Online-Chat gestellt werden. Jetzt anmelden!...
  3. Arbeiten mit Vektoren - Abstände und Winkel
    ... der Vektorrechnung, beschreiben und arbeiten mit Geraden und Ebenen und stellen die wichtigsten Aufgabentypen mit den entsprechenden Lösungsstrategien für das Abitur vor. Das Erarbeitete wird direkt im Webinar vertieft und geübt, Fragen können natürlich jederzeit im Online-Chat gestellt werden. Jetzt anmelden!...
  4. Inputseminar: ALGEBRA
    ...;">Geraden in Anwendungsaufgaben...
  5. Vektoren und Geraden
    ...hlt. Ein kurze Wiederholung der Grundlagen führt in das Seminar ein. Anhand von ausgewählten Abituraufgaben zeigt er Euch Lösungsstrategien und Herangehensweisen für diesen Aufgabentyp. Ihr könnt Eure Fragen per Chatfenster stellen oder auch direkt mit Andreas während des Seminars reden und Matheproblem klären. Wir freuen uns auf Eure Teilnahme!...
  6. Analytische Geometrie und Lineare Algebra
    ...el, ...- Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen Entscheide mit über die Themen...