Analytische Geometrie / Lineare Algebra (Agla)

  1. Geraden
    Geraden
    Bisher kennen wir Geraden hauptsächlich aus der Analysis - und zwar als Schaubilder von linearen Funktionsgleichungen. Eine Gerade war also die graphische Darstellung eines "einfachen" (linearen) Zusammenhangs zwischen x- und y-Wert. Jetzt wollen wir einen Schritt weitergehen und Geraden in den dreidimensionalen Raum übertragen. Hierbei stellen wir uns in diesem Kapitel folgende Fragen: Wie gehen wir jetzt mit Geraden im Dreidimensionalen um? Wie "sehen" solche Geraden denn "aus"? Wie können ...
  2. Aufstellen einer Geradengleichung
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    Geraden > Aufstellen einer Geradengleichung
    Aufstellen einer Geradengleichung
    Aufstellen einer Geradengleichung aus Stütz- und Richtungsvektor Um eine Gerade im $\mathbb{R}^3$ aufzustellen, reicht uns ein beliebiger Punkt der Gerade und die Richtung, in die sie zeigt. Ausführlicher: Wir nehmen den Ortsvektor $\vec{p}$ eines Punktes P der Geraden (diesen nennen wir „Stützvektor“ und den zugehörigen Punkt „Aufpunkt“) und einen Richtungsvektor $\vec{v}$. Durch eine Linearkombination von Stützvektor und einem Vielfachen des Richtungsvektors kommen wir zu jedem ...
  3. Eine Gerade - viele Gleichungen?
    Geraden > Eine Gerade - viele Gleichungen?
    ... wir im vorherigen Kapitel die Gleichung einer Geraden aufgestellt haben. Wir haben einen beliebigen Punkt der Geraden als Aufpunkt gewählt. Nun besteht eine Gerade aber aus unendlich vielen Punkten – und jeder dieser Punkte kann als Aufpunkt genommen werden ohne deswegen eine andere Gerade zu bekommen. Die Geradengleichungen $\vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\0\\2 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\1 \end{pmatrix}$, $\vec{x}=\begin{pmatrix} 3\\2\\3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} ...
  4. Lage von Geraden
    Geraden > Lage von Geraden
    Lage von Geraden
    Hat man mit mehreren Geraden zu tun, so interessiert meist die gegenseitige Lage der Geraden zueinander. In der (zweidimensionalen) Ebene war dies einfach. Entweder haben sich die Geraden geschnitten oder sie waren parallel zueinander. Als Spezialfall der Parallelität konnten die Geraden auch aufeinander liegen, man sagt dann auch sie sind identisch. Als zusätzliche Möglichkeit im $\mathbb{R}^3$ können die Geraden jetzt auch „schräg aneinander vorbei“ laufen. Sie haben dann keinen Schnittpunkt ...
  5. Schnitte von Geraden
    Geraden > Schnitte von Geraden
    Wenn sich zwei Geraden g und h schneiden bedeutet das ja, dass sie genau einen Punkt – den Schnittpunkt – gemeinsam haben. Es gibt also einen Ortsvektor $\vec{x}$, der sowohl die Geradengleichung für g als auch die für h erfüllt. Die Koordinaten dieses Vektors bekommt man heraus, indem man die Geradengleichungen gleichsetzt. Bildlich gesprochen berechnet man, wie weit man auf den Geraden vom Aufpunkt in Richtung des Richtungsvektors gehen muss, bis man auf der anderen Gerade landet. Man erhält ...
  6. Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    Weitere Rechenoperationen mit Vektoren
    ... Vektoren zum Beschreiben von Figuren (Punkten, Geraden) benutzt und mehrere Vektoren zu neuen kombiniert, um Abhängigkeiten aufzudecken. Jetzt wollen wir hauptsächlich messen und Größen mithilfe von Vektoren bestimmen. Für eine Längenmessung brauchen wir so etwas wie ein Maßband, also eine normierte Standardeinheit. Nachdem wir bereits den Betrag eines Vektors kennen gelernt haben werden wir uns damit jetzt ein solches Maß basteln: Wir normieren. Auch zur Winkelmessung sind Vektoren ...
  7. Vektoren und Winkel
    Weitere Rechenoperationen mit Vektoren > Vektoren und Winkel
    Vektoren und Winkel
    Um später Schnittwinkel zwischen Geraden und/oder Ebenen ausrechnen zu können, benutzt man wiederum die gegenseitige Lage zweier Vektoren zueinander.  Für den Winkel $\alpha$ zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ gilt: $\cos{\alpha}=\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$ mit $0 \le \alpha \le 180^\circ $.  Für die Größe des Winkels zwischen den Vektoren $\begin{pmatrix} 1\\2\\2 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 4\\0\\3 \end{pmatrix}$ gilt: $\cos{\alpha} ...
  8. Ebenen in der analytischen Geometrie
    Ebenen in der analytischen Geometrie
    Nachdem einige Kapitel zuvor Geraden im Dreidimensionalen beschrieben wurden, wenden wir uns jetzt den Ebenen zu. Nachdem wir mit Geraden im Zweidimensionalen schon lange umgehen ("$y=m \cdot x + c$"), begegnen uns mit Ebenen die ersten wirklich neuen Figuren. Für diese ist die räumliche Umgebung zwingend notwendig, erst dann können wir sie in all ihren Eigenschaften und ihrer ganzen (unendlich weiten) Ausdehnung erfassen. Zur Beschreibung von Ebenen gibt es in der Analytischen Geometrie verschiedenste ...
  9. Koordinatenform einer Ebene
    Ebenen in der analytischen Geometrie > Koordinatenform einer Ebene
    ... miteinander zusammenhängen. Anmerkung: Bei Geraden im Zweidimensionalen war uns bislang sogar nur die Darstellung in Koordinatenform vertraut. Eine Geradengleichung wie zum Beispiel $y=2x-3$ ist ja in anderen Koordinaten nichts anderes wie $x_2=2x_1-3$ und damit $2x_1-x_2=3$, was uns sehr an obige Darstellung erinnern sollte. Die Gleichung $2x_1+x_2+2x_3=4$ beschreibt eine Ebene im $\mathbb{R}^3$. Vorteil der Darstellung in Koordinatenform Die Vorteile dieser Darstellung sind unter ...
  10. Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    Ebenen in der analytischen Geometrie > Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    Darstellung einer Ebene im Koordinatensystem
    ... Sie sind also Teil der sogenannten Spurgeraden, den Schnittgeraden einer Ebene mit den Koordinatenebenen.
  11. Lagebeziehungen und Abstände
    Lagebeziehungen und Abstände
    Lagebeziehungen und Abstände
    Jetzt, da wir mit Punkten, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum vertraut sind, können wir uns an die Untersuchung einzelner Objekte sowie ihrer Beziehungen untereinander wagen. Häufig ist von Interesse, wie bestimmte Objekte zueinander liegen bzw. verlaufen. Mögliche Fragestellungen sind: Liegt eine Parallelität vor oder liegen sie sogar ineinander bzw. aufeinander? Wie weit sind sie voneinander entfernt? Welches ist die kürzeste Entfernung? Schneiden sie sich? Und falls ja, wo ...
  12. Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    Lagebeziehungen und Abstände > Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen
    Punkte Ein Punkt kann entweder auf einer Geraden liegen oder nicht. Überprüfen können wir das mithilfe einer Punktprobe (vgl. Abschnitt Geraden). Genauso gilt das für Ebenen: Setzt man die Koordinaten des Punktes in eine Ebenengleichung ein und die Gleichung ist erfüllt, so liegt der Punkt auf der Ebene. Andernfalls können wir den Abstand des Punktes von der Ebene bzw. von einer Gerade berechnen (vgl. Abschnitt Abstände). Gerade – Gerade Wie zwei Geraden zueinander liegen können haben ...
  13. Abstände von Punkten
    Lagebeziehungen und Abstände > Abstandsprobleme > Abstände von Punkten
    ... Abstand eines Punktes P von einer Geraden g Hier benötigen wir eine kleine Hilfskonstruktion: Wir legen eine Ebene H durch den Punkt P, die zusätzlich senkrecht zur Geraden g ausgerichtet sein soll. Dies geht am einfachsten mit der Normalenform einer Ebene, dann wird der Richtungsvektor der Geraden zum Normalenvektor der Ebene H. Der Schnittpunkt S von Gerade und Ebene ist der Lotfußpunkt zum gegebenen Punkt P. Der Abstand von Gerade und Punkt entspricht dem Betrag des Verbindungsvektors ...
  14. Abstände von Geraden
    Lagebeziehungen und Abstände > Abstandsprobleme > Abstände von Geraden
    Abstand zweier paralleler Geraden g und h Man nehme einen Punkt P auf g und lege eine zu g und h orthogonale Ebene E durch den Punkt. Der Schnittpunkt von E mit der Geraden h liefert den Lotfußpunkt S. Der Abstand der beiden Geraden voneinander entspricht dem Betrag des Vektors $\overrightarrow{SP}$. Da die Geraden überall denselben Abstand haben (Parallelität!), kann jeder beliebige Punkt einer Geraden als Ausgangspunkt der Konstruktion genommen werden. Abstand zweier windschiefer Geraden g ...
  15. Schnitte
    Schnitte
    ... auf eine Identität hin (beim Schnitt von Geraden und Ebenen verläuft die Gerade dann in der  Ebene). Betrachten wir nun beispielhaft ein paar Fälle.
  16. Schnitt Gerade-Gerade
    Schnitte > Schnitt Gerade-Gerade
    Über die Untersuchung der Lage zweier Geraden zueinander gibt es ein anderes Kapitel. Hier wollen wir uns mit einem Beispiel für den Schnitt zweier Geraden begnügen. Berechne den Schnittpunkt der Geraden $g: \vec{x}=\begin{pmatrix} 0\\-1\\3 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix} 1\\2\\-1 \end{pmatrix}$ und $h: \vec{x}=\begin{pmatrix} 2\\4\\4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 0\\1\\3 \end{pmatrix}$. Hierzu setzen wir die Geraden gleich und lösen das Gleichungssystem: $g \cap h: \quad ...
  17. Schnitt Ebene-Gerade
    Schnitte > Schnitt Ebene-Gerade
    ... Um den Schnittpunkt zu berechnen, müssen wir Geraden- und Ebenengleichung gleichsetzen, wenn die Ebene in Parameterdarstellung gegeben ist. Ähnlich wie beim Schnitt von Geraden erhalten wir wieder ein lineares Gleichungssystem, jetzt allerdings mit drei Unbekannten (nämlich den Parametern aus den Gleichungen). Einfacher gestaltet sich die Bestimmung des Schnittpunktes, wenn die Ebene in Koordinaten- oder Normalenform vorliegt. Dann setzen wir einfach für den Vektor $\vec{x}$ in der Ebenengleichung ...
  18. Schnitt Ebene-Ebene
    Schnitte > Schnitt Ebene-Ebene
    Schnitt Ebene-Ebene
    ... schneiden sich zwei Ebenen in einer Schnittgeraden, wenn sie nicht parallel sind. Ein Gleichsetzen der Ebenengleichung führt demnach auf ein lineares Gleichungssystem, das unendlich viele Lösungen (alle Punkte einer Geraden) haben muss. Zwei Ebenen in Koordinatenform sind gegeben mit $E:  3x_1+2x_2-x_3 = 5$ und $F:  2x_1-x_2+x_3 = 3$. Wir erhalten also ein LGS mit: $\begin{align} 3x_1 + 2x_2 – x_3 &= 5 \\ 2x_1 – x_2 + x_3 &= 3\\ \text{(1)+(2) ergibt}\\ 5x_1 + x_2 &= ...
  19. Spiegelungen
    Spiegelungen
    ... Ebene möglich. Und jeweils können Punkte, Geraden, Ebenen oder bestimmte Figuren gespiegelt werden. Wie also vorgehen? In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass sich jede Spiegelung zurückführen lässt auf eine Spiegelung eines Punktes an einem Punkt. Alle Hilfsmittel, die wir hierzu benötigen sind das Aufstellen von Geradengleichungen, das Messen von Abständen und das Bestimmen eines zu einer gegebenen Ebene orthogonalen Vektors.
  20. Spiegelung an einem Punkt
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    Spiegelungen > Spiegelung an einem Punkt
    ... (beinahe) 1 zu 1 übertragen. Spiegelung einer Geraden an einem Punkt Eine Gerade g kann an einem Punkt S gespiegelt werden, indem man zwei Punkte der Geraden am Punkt S spiegelt und anschließend eine Gerade durch die beiden gespiegelten Punkte legt. Die Gerade g mit $\vec{x}= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}$ soll am Punkt $S(2|2|2)$ gespiegelt werden.Als Punkte von g wählen wir den Aufpunkt $A(1|2|0)$ und einen weiteren Punkt ...
  21. Spiegelung an einer Geraden
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    Spiegelungen > Spiegelung an einer Geraden
    Spiegelung eines Punktes an einer Geraden Möchte man einen Punkt P an einer Geraden spiegeln, brauchen wir dazu den Punkt S auf der Geraden, der zu P die kleinste Entfernung hat. Wie kommen wir zu diesem? In der Darstellung erkennt man, dass die Verbindung von P zu S senkrecht zur Gerade steht. $\overrightarrow{PS}$ ist orthogonal zum Richtungsvektor der Geraden. Das hilft uns schon ein Stück weiter, aber S haben wir damit noch nicht bestimmt. Wir greifen hier zu einem kleinen Trick... und ...
  22. Spiegelung an einer Ebene
    Spiegelungen > Spiegelung an einer Ebene
    Spiegelung an einer Ebene
    ... Der Schnittpunkt unserer Ebene mit der Hilfsgeraden liefert den Lotfußpunkt. Anschließend muss der gegebene Punkt nur noch an diesem gespiegelt werden, um den gesuchten Bildpunkt zu erhalten. Spiegelung einer Geraden an einer Ebene Hier sind zwei Fälle zu unterscheiden: Wenn die Gerade parallel zur Ebene verläuft und wenn die Gerade die Ebene schneidet. Im ersten Fall nimmt man sich einen beliebigen Punkt der Geraden, spiegelt diesen an der Ebene und nimmt den Bildpunkt als Aufpunkt der ...
  23. Lineare Gleichungssysteme
    Lineare Gleichungssysteme
    ... zu lösen (z.B. um den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen), werden nun die Aufgabenstellungen etwas komplexer. Im folgenden Kapitel betrachten wir zunächst einmal Lösungsstrategien, um so ein Gleichungssystem zu knacken. Dabei können wir unabhängig von der Mächtigkeit eines solchen Systems vorgehen. Anschließend werden wir uns konkreten Aufgabenstellungen widmen. In der Analytischen Geometrie benötigen wir Gleichungssysteme häufig für Schnittprobleme (Gerade-Gerade, Ebene-Gerade, ...
  24. Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?
    Lineare Gleichungssysteme > Was ist ein Lineares Gleichungssystem (LGS)?
    ... Schnitte von Ebenen und Ebenen, Ebenen und Geraden oder Geraden und Geraden untersucht. Bestimmung ganzrationaler Funktionen: Mittels LGS können die Koeffizienten von Funktionsgleichungen aus gegebenen Eigenschaften der Funktion bzw. ihres Graphen bestimmt werden. Anwendungsbezogene Aufgaben: Für Mischungen wird nach einem bestimmten Mischungsverhältnis gesucht oder die Herstellung verschiedener Produkte aus Rohstoffen wird durch LGS beschrieben.
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Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

  1. Symmetrie
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Symmetrie
    Symmetrie
    ... sind.   Keine SymmetrieAlle Funktionen mit geraden und ungeraden Exponenten sind unsymmetrisch bzw. nicht symmetrisch. f(x)=$x^4$+2x³+5xumgeschrieben: f(x)=$x^4$+2x³+5$x^1$ Die Exponenten der Funktion lauten damit: 4,3,1. Diese Funktion ist nicht symmetrisch, da gerade und ungerade Exponenten auftreten.  
  2. Klassifizierung der Nullstellen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > Klassifizierung der Nullstellen
    Klassifizierung der Nullstellen
    ... ungeradem Grad Alle Funktionen, die einen ungeraden Grad n haben wie z. B. x³+x² oder x+2, haben mindestens eine Nullstelle, maximal n Nullstellen. D. h. der Grad der Funktion bestimmt die maximale Anzahl der Nullstellen. Kubische Funktion mit einer Nullstelle Kubische Funktion mit zwei Nullstellen Kubische Funktion mit drei Nullstellen f(x)=3$x^5$-4x²Die Funktion hat den Grad 5, da 5 der höchste Exponent ist. Also hat die Funktion mindestens eine Nullstelle, da der Grad ...
  3. Wertebereich
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Wertebereich
    Wertebereich
    ... oder gerade ist. Funktionen mit einem ungeraden höchsten Exponenten Da bei Funktionen mit einem ungeraden höchsten Exponenten wie z.B. $x^3$+$x^2$ oder $x^5$ der Graph der Funktion quer durch das gesamte Koordinatensystem geht, sind im Wertebereich alle reelen Zahlen enthalten. W = IR D.h. alle reelen Zahlen bilden den Wertebereich. Funktion mit ungeradem Grad höchsten Exponenten Funktionen mit einem geraden höchsten Exponenten Bei Funktionen mit einem geraden höchsten Exponenten, ...
Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
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Stochastik

  1. Mittelwert, Median und Modus
    Beschreibende Statistik > Mittelwert, Median und Modus
    ... der Wert, der in der Mitte steht, bei einer ungeraden Anzahl von Messwerten. Sonst verwendet man als Median den Mittelwert der beiden mittleren Messwerte. Bestimmen des Medians 1. Die Messwerte der Größe nach sortieren es ergibt sich die Liste $x_1 , x_2 , \dots , x_n$ 2. Die Anzahl n der Messwerte bestimmen. 3a. 1.Fall: n ist ungerade dann ist der Median der Messwert an der Stelle $\frac{n+1}{2}$ also $\large \bf \tilde{x} = x_{\frac{n+1}{2}}$ 3b. 2.Fall: n ist gerade dann ist der ...
  2. Dichtefunktion der Normalverteilung
    Normalverteilung > Dichtefunktion der Normalverteilung
    Dichtefunktion der Normalverteilung
    ... $\mu$, die Graphen sind symmetrisch zur Geraden $x=\mu$ und haben für $x \rightarrow \pm \infty$ die x-Achse als Asymptote. Mit zunehmender Standardabweichung $\sigma$ werden ihre Graphen flacher und breiter, umso kleiner $\sigma$ wird umso höher und schmaler werden die Graphen. Standard-Normalverteilung Ist $X \sim N (0 ; 1 )$-verteilt, so nennt man $X$ standardnormalverteilt die Dichte der Standard-Normalverteilung wird mit einem $ \large \bf \varphi $ bezeichnet und sieht so aus: $\Large ...
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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

  1. Tangenten- und Normalengleichungen
    Differentialrechnung > Tangenten- und Normalengleichungen
    Tangenten- und Normalengleichungen
    ... ist wichtig zu wissen, dass die Gleichung einer Geraden durch  $g(x)=m x + n$ definiert wird. Tangenten und Normalen sind ja Geraden. Außerdem muss du wissen, dass die Steigung an einer Stelle durch die Ableitung an einer Stelle berechnet werden kann und das Tangente und Normale senkrecht aufeinander stehen. Steigung an der Stelle $x_0$ = Ableitung an der Stelle $x_0$ $m=f^\prime(x_0)$ Tangente und Normale stehen senktrecht aufeinander (sind orthogonal), so dass das Produkt ihrer Steigungen ...
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Quanteneffekte & Struktur der Materie

  1. Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums
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    Welle-Teilchen-Dualismus > Photoeffekt - Die Gegenfeldmethode - quantitative Analyse > Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums
    Bestimmung des Planckschen Wirkungsquantums
    ... $f$. Falls man mit $h$ die Steigung der Geraden bezeichnet, so erhält man $E_{kin}(f)=hf-W_A$. Darin ist $W_A$ ein vom (Kathoden)material abhängiger Wert. Die Steigung $h$ ist vom verwendeten Material unabhängig. Dies deutet darauf hin, dass $h$ eine Naturkonstante ist, deren Wert man aus der Steigung der linearen Funktion $E_{kin}(f)$ bestimmen kann. Das Plancksche Wirkungsquantum $h$ Die aus dem Versuch gewonnene Steigung der Funktion $E_{kin}(f)$ ist eine Naturkonstante, die ...
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Elektromagnetismus

  1. Hertzscher Dipol
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    Elektromagnetische Wellen > Hertzscher Dipol
    Hertzscher Dipol
    ... Am Ende dieser Deformation erhält man einen geraden Draht. Wie man sieht, ragt das elektrische Feld (blau eingezeichnet) nun weit in den Raum hinaus. Auch das magnetische Feld der Spule breitet sich in dem umgebenden Raum aus. Was passiert nun mit der Frequenz bzw. Eigenfrequenz $f$ des bekannten Schwingkreises? Die Thomson-Formel lautet ja $f=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$. Wir wissen, dass die Kapazität $C$ proportional zur Kondensatorfläche $A$ ist ($C\sim A$). Die Induktivität $L$ der ...
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Stoffwechsel

  1. Gesamtsumme des Glukoseabbaus über die Vorgänge der Zellatmung
    Zellatmung > Gesamtsumme des Glukoseabbaus über die Vorgänge der Zellatmung
    Gesamtsumme des Glukoseabbaus über die Vorgänge der  Zellatmung
    ... liegen die Werte etwas niedriger, mit ungeraden Werten (pro Mol NADH+H+ 2,5 Mol ATP; pro Mol FADH2 1,5 Mol ATP). Vorgänge der Zellatmung. Die Glykolyse ist im Zytoplasma lokalisiert, alle der oxidativen Decarboxylierung nachfolgenden Schritte erfolgen in den Mitochondrien.
Stoffwechsel
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Physikalische Chemie

  1. Fotometrie
    Kinetik: rund um die Reaktionsgeschwindigkeit > Anwendungsbeispiele > Fotometrie
    Fotometrie
    ... damit auch die Extinktion. Mithilfe von Eichgeraden lässt sich dann direkt aus den Extinktionswerten die Konzentration ablesen, die Zeit muss dabei korrelierend festgehalten werden. Über dieses Prozedere ist es dann möglich, entsprechend die Reaktionsgeschwindigkeit zu berechnen. Eine Eichgerade ist eine Gerade in einem Extinktions-Konzentrationsdiagramm, welches durch Messung der Extinktion bei bekannter Konzentration vor jedem Versuch festgelegt werden muss oder aus tabellierten Werten ...
Physikalische Chemie
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