Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

  1. Berechnung der Extrempunkte
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Extrempunkte > Berechnung der Extrempunkte
    ... ausführen: die erste und die zweite Ableitung berechnen ($f'(x)$ und $f''(x)$) die erste Ableitung = Null setzen und mit $f´(x)=0$ die Extremstelle $x_E$ berechnen (Gleichung nach x auflösen), d.h. den x-Wert des Extrempunktes berechnen mit $f''(x_E)$ überprüfen, ob der Extrempunkt ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt ist.Dazu wird die Extremstelle in die zweite Ableitung eingesetzt. Ist $f''(x_E) < 0$ ist der Extrempunkt ein Hochpunkt (HP).Ist $f''(x_E) > 0$ ist der Extrempunkt ...
  2. Einfache e-Funktion
    Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen > Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen > Einfache e-Funktion
    Einfache e-Funktion
    ... Überprüfung auf Hoch und Tiefpunkt mit der 2. Ableitung entfällt. Ergebnis: Es gibt keine Extrempunkte. Wendepunkte Bedingung: f``(x)=0                  f``(x)=$-18\cdot e^{-3x+1}$ $\neq$ 0 -> es gibt keine Wendepunkte                 Auch hier kann $e^{-3x+1}$ nicht 0 werden. Ergebnis: Es gibt keine Wendepunkte. Globalverhalten Da die Funktion fallend ist gilt: wenn x-> $\infty$, dann f(x) -> -0,5, y=-0,5 ist die Asymptote. wenn x-> $-\infty$, ...
  3. Einleitung Analysis I
    Einleitung Analysis I
    ... weiterführenden Aufgaben notwendig sind. Ableitung Was ist die Ableitung Welche Regeln gibt es? Wie funktioniert graphisches Ableiten? Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionsscharen inkl. Ortslinie Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen inkl. Ortslinie Integralrechnung bestimmtes und unbestimmtes Integral Flächenberechnung Für jedes Unterkapitel gibt es Übungsaufgaben und am Schluss jedes großen ...
  4. Verständnis der Ableitung
    Verständnis der Ableitung
    Verständnis der Ableitung
    Die Ableitung, genauer gesagt die Tangentensteigungsfunktion, ist für die Oberstufe unglaublich wichtig. Je besser verstanden wird, was die Ableitung ist und wie sie berechnet wird, um so leichter werden uns später die Aufgaben dazu fallen. Daher werden in diesem Kapitel die Ableitung und die Ableitungsregeln ausführlich erklärt. Wozu ist die Ableitung aber gut? Braucht man sie irgendwann? Innermathematisch braucht man die Ableitung um Steigungen, Steigungswinkel, Extrempunkte oder Wendepunkte ...
  5. Was ist die Ableitung?
    Verständnis der Ableitung > Was ist die Ableitung?
    ... die Tangentensteigungsfunktion bzw. die Ableitung. Im folgenden Applet wird das sehr deutlich. An dem dargestellten Punkt A auf dem Graphen wird die Tangente mit dem dazugehörigen Steigungsdreieck gezeichnet sowie die Steigung der Tangente berechnet. Diese berechnete Tangentensteigung ist die y-Koordinate des dazugehörigenden Punktes der Steigungsfunktion der nun blau gezeichnet wird. Wenn man den Punkt A nun bewegt, wird zu diesem Punkt A des Ausgangsgraphen die Tangentensteigung berechnet ...
  6. Die graphische Ableitung
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung
    Die graphische Ableitung
    ... und Wendepunkte zu berechnen wird die Ableitung benötigt,  die nach verschiedenen Regeln berechnet wird. Aber warum benötigt man dazu die Ableitung? Woher kommen die Bedingungen zur Berechnung von Hochpunkten, Tiefpunkten und Wendepunkten? Dieses Verständnis kann sich dir nur erschließen, wenn du die Bedeutung der Ableitung 100% verstanden hast und graphisch ableiten kannst. Auf den folgenden Seiten erhälst du daher eine Schritt für Schritt - Anleitung zum graphischen Ableiten. ...
  7. Punkte mit waagerechter Tangente
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    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Punkte mit waagerechter Tangente
    Punkte mit waagerechter Tangente
    ... Steigung Null, waagerechte Tangente, Ableitung Null, f`(x)=0 Zu den Punkte mit waagerechter Tangente gehören: Extrempunkte (Maxima/Hochpunkt, Minima/Tiefpunkt) Sattelpunkte (R-L-Sattelpunkte, L-R-Sattelpunkt) Punkte mit waagerechter Tangente Für alle Punkte mit waagerechter Tangente (PWT), d.h mit Steigung Null, ergibt sich in der Ableitung eine Nullstelle,da die Ableitung die Funktion der Tangentensteigungen ist. PWT und die Ableitung In Abhängigkeit der Art ...
  8. Extrempunkte graphisch
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Punkte mit waagerechter Tangente > Extrempunkte graphisch
    Extrempunkte graphisch
    ... dem Maximum Daraus ergibt sich: Graph der Ableitungsfunktion f´(x) fällt an der NS (Nullstelle) einfache Nullstelle Vorzeichenwechsel der Steigung (Ableitung) von positiv zu negativ (VZW + -) die notwendige Bedingung für eine Extremstelle f´(x)=0 hinreichende Bedingung f´´(x) < 0, da die Steigung von f´(x), also f´´(x), negativ ist. Maximum graphisch ableiten Minimum als Extrempunkt Besonderheiten am Minimum in f(x) negative Steigung vor dem Minimum positive Steigung ...
  9. Sattelpunkte
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Punkte mit waagerechter Tangente > Sattelpunkte
    Sattelpunkte
    ... dem  SP Daraus ergibt sich: Graph der Ableitungsfunktion f´(x) hat an der Nullstelle ein Minimum doppelte Nullstelle Vorzeichenwechsel der Steigung von positiv zu positiv (VZW + +) Rechts-Links-Sattelpunkt graphisch ableiten Der Links-Rechts-Sattelpunkt Besonderheiten am L-R-SP in f(x): negative Steigung vorm Sattelpunkt (SP) negative Steigung nach dem  SP Daraus ergibt sich: Graph der Ableitungsfunktion f´(x) hat an der Nullstell ein Maximum   doppelte Nullstelle Vorzeichenwechsel ...
  10. Wendepunkte graphisch
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Wendepunkte graphisch
    Wendepunkte graphisch
    ... Steigung extremal, d.h maximal oder minimal Ableitung ist extremal Krümmung ändert sich entweder Linkskrümmung in Rechtskrümmung (L-R-WP) oder- Rechtskrümmung in Linkskrümmung (R-L-WP) Wendepunkte mit minimaler und maximaler Steigung Die obere Grafik zeigt Beispiel für Wendepunkte mit maximaler Steigung (oben) und Wendepunkte mit minimaler Steigung (darunter).
  11. Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Wendepunkte graphisch > Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
    Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
    ... negativen und einmal im positiven Bereich der Ableitungsfunktion. In den nachfolgenden Bildern erkennst du sehr gut, warum das so ist. Seh dir immer die Steigungen von f(x) an und die dazugehörigen y-Werte der Ableitungsfunktion. WP = Wendepunkt Rechts-Links-Wendepunkt mit negativer Steigung Rechts-Links-Wendepunkt mit negativer Steigung Besonderheiten am R-L-WP mit negativer Steigung in f(x) Steigung nimmt zum WP hin zu Steigung nimmt nach dem WP ab maximale negative Steigung ...
  12. Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Wendepunkte graphisch > Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
    Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
    ... und einmal im negativen Bereich der Ableitungsfunktion. In den nachfolgenden Bildern erkennst du wieder sehr gut, warum das so ist. Seh dir immer die Steigungen von f(x) an und die dazugehörigen y-Werte der Ableitungsfunktion. Links-Rechts-Wendepunkt mit positiver Steigung Links-Rechts-Wendepunkt mit positiver Steigung Besonderheiten am L-R-WP mit positiver Steigung in f(x) Steigung nimmt zum WP hin zu Steigung nimmt nach dem WP ab maximale positiver Steigung am WP  treten ...
  13. Vergleich der Wendepunkte
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Vergleich der Wendepunkte
    Vergleich der Wendepunkte
    ... Rechtskrümmung fällt der Graph der ersten Ableitung, da die Steigung von f(x) (f´(x)) kleiner wird. Bei jeder Linkskrümmung steigt der Graph der Ableitung, da die Steigung von f(x) (f´(x)) größer wird. Dazwischen liegt dann immer ein Minimum. Je nachdem wie die Steigung am Wendepunkt ist, liegt das Minimum. Ist am Wendepunkt eine positive Steigung, liegt das Minimum im Positiven. Ist am Wendepunkt keine Steigung (Sattelpunke), liegt das Minimum auf der x-Achse bei 0. Ist am Wendepunkt ...
  14. Graphen ableiten
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung > Graphen ableiten
    Graphen ableiten
    ... Graph einer Funktion f(x) oder der Graph einer Ableitungsfunktion f’(x) oder f’’(x). Am effektivsten gehst du nach folgenden drei Punkten vor: 1. Zeichne unter den Graphen der Funktion ein Koordinatensystem Zeichne unter den Graphen der Funktion, ein Koordinatensystem, so dass die x-Achsen genau untereinander sind, bezeichnen Sie die besonderen Punkte Maximum, Minimum, Sattelpunkt und Wendepunkt und ziehen Sie dann senkrechte Linien nach unten. Wendepunkte, Sattelpunkte, Minimum ...
  15. Ableiten
    Ableiten
    In diesem Kapitel werden die Ableitungsregeln einzeln erklärt und diese dann an komplexen Beispielen erläutert. Wir gehen wie folgt vor: Zunächst betrachten wir die Ableitungsregeln. Hierzu zählen Wichtige Ableitungsregeln für das Mathe-Abitur Potenzregel Faktorregel Summenregel Produktregel Quotientenregel Kettenregel Hiernach betrachten wir das Ableiten komplexer Funktionen und gehen auf besondere Ableitungen ein. In einer weiteren Lerneinheit schauen wir uns an, wie man Kurvenscharen ...
  16. Potenzregel
    Ableiten > Ableitungsregeln > Potenzregel
    Potenzregel
    ... eine Potenzfunktion $f(x)=x^n$, dann lautet die Ableitungsfunktion $f´(x)=n\cdot x^{n-1}$.n muss dabei keine ganze Zahl sein, sondern kann auch ein Bruch sein. Beispiele:$f(x)=x^3 \to  f´(x)=3\cdot x^{3-1}=3\cdot x^2$$f(x)=x^7\to  f´(x)=7\cdot x^{7-1}=7\cdot x^6$$f(x)=x^{-2}\to  f´(x)=-2\cdot x^{-2-1}=-2\cdot x^{-3}$$f(x)=x^{\frac{2}{3}} \to  f´(x)={\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{2}{3}-1}={\frac{2}{3}}\cdot x^{\frac{-1}{3}}$ Schwieriger ist das Ableiten von Potenzfunktionen bei f(x)=x und ...
  17. Faktorregel
    Ableiten > Ableitungsregeln > Faktorregel
    ... $g(x)=a\cdot f(x)=a\cdot x^n$, dann lautet die Ableitungsfunktion $g´(x)=a\cdot f´(x)=a\cdot n\cdot x^{n-1}$. D.h. der Faktor bleibt stehen, wird also nicht abgeleitet. Nur die Funktion f(x) wird nach der Potenzregel abgeleitet. Beispiele:$g(x)=2x³=2\cdot f(x)$$g´(x)=2\cdot f´(x)=2\cdot 3\cdot x^{3-1}=6x^2$$g(x)=-3x^7=-3\cdot f(x)$$g´(x)=-3\cdot f´(x)=-3\cdot 7x^6=-21x^6$$g(x)=-5x^{-2}=-5\cdot f(x)$$g´(x)=-5\cdot f´(x)=-5\cdot -2x^{-3}=10x^{-3}$$g(x)=\frac{4}{5}\cdot x^{\frac{2}{3}}=\frac{4}{5} ...
  18. Summenregel
    Ableiten > Ableitungsregeln > Summenregel
    Summenregel
    ... der Form $h(x)=g_1(x)+g_2(x)$, dann lautet die Ableitungsfunktion $h´(x)=g´_1(x)+g´_2(x)$. D.h. eine Summe wird abgeleitet, indem jeder Summand einzeln abgeleitet wird. Für Differenzen gilt das selbe. Beispiele: $h(x)=2x^3-3x^7 \to  h´(x)=6\cdot x^2-21\cdot x^6$ $h(x)=-5x^{-2}+3x^{\frac{2}{3}} \to  h´(x)=10x^{-3}+2x^{\frac{-1}{3}}$ Im folgenden Video werden alle drei Regeln, die Potenzregel, die Faktorregel und die Summenregel an verschiedenen Beispielen erklärt. Das Video ...
  19. Produktregel
    Ableiten > Ableitungsregeln > Produktregel
    Produktregel
    ... der Form $f(x)=u(x)\cdot v(x)$, dann lautet die Ableitungsfunktion $f´(x)=u´(x)\cdot v(x)+u(x) \cdot v´(x) $D.h. besteht die Funktion f(x) aus einem Produkt von zwei Funktionen u und v, ergibt sich die Ableitung mit u´v+uv´. 1. Beispiel:$f(x)=2x^3\cdot (3x^7-1)=u\cdot v$$f´(x)=u´v+uv´=6x^2\cdot (3x^7-1)+2x^3\cdot 21x^6=18x^9-6x^2+42x^9=60x^9-6x^2$ Einfacher ist hier erst auszumultiplizieren und dann ohne Produktregel zu rechnen:$f(x)=2x^3\cdot (3x^7-1)=6x^{10}-2x^3$$f´(x)=60x^9-6x^2$ 2. ...
  20. Quotientenregel
    Ableiten > Ableitungsregeln > Quotientenregel
    Quotientenregel
    ... Form $f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}$, dann lautet die Ableitungsfunktion $f´(x)=\frac{u´v-uv´}{v^2}$Das komplizierteste bei der Quotientenregel ist das nachträgliche ausmultiplizieren und zusammenfassen. $f(x)=\frac{x^2}{x+1}=\frac{u(x)}{v(x)}$$f´(x)=\frac{2x\cdot (x+1)-x^2 \cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}$ Die Quotientenregel wird in folgenden Video nochmal erläutert. Das Video wird geladen ... Auch im Abitur kommt die Quotientenregel vor, hier im Zusammenhang ...
Grundlagen der Analysis (Analysis 1)
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Elektromagnetismus

  1. Elektromagnetische Induktion
    Elektromagnetische Induktion
    Elektromagnetische Induktion
    ... übereinstimmen. Motivation Bevor wir mit der Ableitung des Induktionsgesetzes beginnen, wollen wir einen kleinen Versuch zur Veranschaulichung des Phänomens geben. Dieser Versuch weist übrigens einige Parallelen mit dem von Faraday durchgeführten Experiment auf. 1. Qualitativer Versuch zur Induktion Dazu betrachten wir 2 Spulen, die wie im Bild gezeigt zueinander positioniert werden. In der linken Spule wird der Stromkreis geschlossen, wodurch so ein Strom fließt, der ein Magnetfeld ...
  2. Induktionsspannung- Induktionsgesetz
    Elektromagnetische Induktion > Induktion- Magnetischer Fluss > Induktionsspannung- Induktionsgesetz
    Induktionsspannung- Induktionsgesetz
    ... in Abhängigkeit von ihrer Variablen durch die Ableitung der Funktion bestimmt wird. Wenn also der magnetische Fluss $\Phi$ als zeitabhängige Funktion $\Phi (t)$ betrachtet wird, so liefert die Ableitung $\frac{d}{dt}\Phi (t)$ die zeitliche Veränderung des magnetischen Flusses. Bemerkung: Die Ableitung wird auch in der Form $\dot \Phi(t)$ geschrieben. Das folgende Induktionsgesetz stellt eine Verbindung zwischen der gesuchten Induktionsspannung $U_{ind}$ und der Ableitung des magnetischen ...
  3. Selbstinduktion
    Elektromagnetische Induktion > Selbstinduktion
    Selbstinduktion
    ... I\cdot A)}$ Man beachte, dass hier die Ableitung in der Form $\frac{d}{dt}$ statt eines Punktes über der Funktion geschrieben. Welche Darstellung man verwendet, hängt von der übersichtlicheren Schreibweise auf. Der Faktor $\mu_0\frac{N}{l}\cdot A$ ist konstant und kann vor die Klammer gezogen werden; somit folgt zusammengefasst $U_{ind}=-N\cdot \mu_0\frac{N}{l}\cdot A\cdot \frac{d}{dt}I=-\mu_0\cdot \frac{N^2\cdot A}{l}\cdot \dot I$ Die Selbstinduktionsspannung einer Spule kann ...
  4. Energie - schwingendes System
    Schwingungen und Wellen - Grundlagen > Schwingungen > Energie - schwingendes System
    ... Geschwindigkeit eines Körpers die zeitliche Ableitung seines jeweiligen Ortes ist. Nun wird ja der Ort eines Federpendels durch die Elongation $y(t)$ beschrieben $y(t)=A\sin{(\omega t+\phi_0)}$, woraus man dann die Geschwindigkeit $v$ durch das Ableiten berechnen kann $v=\frac{dy}{dt}=A\omega\cos{(\omega t+\phi_0)}$. Diesen Ausdruck setzen wir in die Formel für $W_{kin}$ ein und erhalten sofort $W_{kin}=\frac{1}{2}mA^2\omega^2\cos^2{(\omega t+\phi_0)}$. Unter dem Aspekt der Energieerhaltung ...
  5. Mechanische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer
    Schwingungen und Wellen - Grundlagen > Schwingungen > Mechanische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer
    ... Die Beschleunigung $a$ ist die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit $v$, und die Geschwindigkeit $v$ ist ja die zeitliche Ableitung des Ortes bzw. in diesem Fall der Elongation $y$. Also folgt, dass die Beschleunigung des Körpers die zweifache zeitliche Ableitung von $y$ ist. $a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2 y}{dt^2}$ (oder auch so) $a=\dot v=\ddot y$. Herleitung der Schwingungsdifferentialgleichung Wir können also die Gleichung zunächst einmal so schreiben $F=m\cdot \frac{d^2 y}{dt^2}$ ...
  6. Elektromagnetische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer
    Elektromagnetische Schwingungen > Elektromagnetischer Schwingkreis > Elektromagnetische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer
    Elektromagnetische Schwingungsdifferentialgleichung, Schwingungsdauer
    ... $I$ ist laut Definition die zeitliche Ableitung der Ladung $Q$. Man hat also $I=\dot Q$ und damit $\dot I=\ddot Q$. Diese letzte Formel setzen wir in die obige Gleichung ein, $L\cdot \ddot Q+\frac{1}{C}Q=0$. Etwas umgeformt ergibt sich dann die gewünschte Schwingungsdifferentialgleichung $\ddot Q+\frac{1}{LC}Q=0$ Lösung der Differentialgleichung Man kann diese Gleichung lösen, indem man folgenden Ansatz benutzt: $Q(t)=Q_{max}\sin{(\omega t +\phi_0)}$. Dabei ist $Q_{max}$ ...
Elektromagnetismus
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Relativitätstheorie

  1. Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse
    Relativistische Dynamik > Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse
    Geschwindigkeitsabhängigkeit der Masse
    ... festgehalten, wo man auch eine explizite Ableitung der Massenformel findet.
  2. Relativistische Energie
    Relativistische Dynamik > Relativistische Messgrößen > Relativistische Energie
    ... ist nach dem 2. Newtonschen Axiom als zeitliche Ableitung des Impulses zu verstehen $F=\frac{dp}{dt}$. Für den Impuls $p$ ist hier natürlich die relativistische Formel einzusetzen. Im Kapitel Ladungen und Felder, Abschnitt Energie im elektrischen Feld hatten wir eine allgemeine Integralformel für die Arbeit und Energie kennengelernt. Demnach kann die kinetische Energie $E_{kin}$, die ein Körper entlang eines Weges der Länge $s$ auf der $x$-Achse erhält, wie folgt berechnet werden $E_{kin}=\int_0^s ...
  3. Geschwindigkeit und das klassische Additionstheorem
    Wiederholung: Grundlagen der klassischen Kinematik > Geschwindigkeit und das klassische Additionstheorem
    ... Bekanntlich ist die Geschwindigkeit als Ableitung des Weges nach der Zeit darstellbar. Also hat man zunächst $w=\frac{dx}{dt}$ und demzufolge im System $S^{'}$, wobei man jetzt die gestrichenen Größen einsetzen muss, $w^{'}=\frac{dx^{'}}{dt^{'}}=\frac{d}{dt}(x-vt)=\frac{dx}{dt}-v=w-v$. Dabei hat man die Tatsache $t^{'}=t\Rightarrow dt^{'}=dt$ und die oben angegebene Galileitransformation für $x^{'}$ ausgenutzt. Additionstheorem der klassischen Physik Bewegt sich das System $S^{'}$ ...
  4. Beschleunigung, Masse, Kraft
    Wiederholung: Grundlagen der klassischen Kinematik > Beschleunigung, Masse, Kraft
    Beschleunigung in einem System Durch eine Ableitung der Geschwindigkeit des Körpers nach der Zeit gelangen wir zur Beschleunigung des Körpers. Man verifiziert sofort, dass folgender Zusammenhang zwischen den Beschleunigungen $a^{'}$ und $a$ in $S$ bzw. $S^{'}$ besteht $a^{'}=a$. Dabei ist die Beschleunigung als Formel durch $a=\frac{dw}{dt}$ gegeben. Beweis: $a^{'}=\frac{dw^{'}}{dt^{'}}=\frac{d}{dt}(w-v)=\frac{dw}{dt}-0=a$. Die Beschleunigung eines Körpers führt nach den Newtonschen Axiomen ...
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Ladungen und Felder

  1. Homogenes Feld
    Elektrische Ladungen und Felder > Elektrische Feldkonfigurationen > Homogenes Feld
    ... weiß man, dass Beschleunigung die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit ist, woraus die Beziehung $\dot{v}_{y}=a_{y}\Rightarrow v_{y}=a_{y}t$ folgt. $a_{y}$ ist nach der ersten Gleichung zeitlich konstant. Es stellt sich die Frage, welche Funktion man ableiten muss, um eine konstante Funktion zu bekommen. Die Antwort ist ganz einfach $a_{y}t$. Weiterhin ist bekannt, dass die Geschwindigkeit die zeitliche Ableitung des Weges ist. Also bekommt man mit der vorigen Gleichung: $\dot{y}(t)=v_{y}=a_{y}t$. Um ...
  2. Lorentz-Kraft auf stromdurchflossene Leiter
    Elektrische Ströme und magnetische Felder > Lorentz-Kraft auf stromdurchflossene Leiter
    Lorentz-Kraft auf stromdurchflossene Leiter
    ... ist jedoch der Differentialquotient bzw. die Ableitung zu bilden $I:=\lim_{t\to 0}\frac{\Delta Q}{\Delta t}$. Die oben erwähnte Ladung $Q$ hat zum Durchqueren der Drahtlänge $l$ die Zeit $T$ benötigt. Mit Hilfe der mittleren Geschwindigkeit $v$ gilt $v\cdot T=l \Rightarrow T=\frac{l}{v}$, woraus wir die Zeit $T$ ermittelt haben. Damit lässt sich nun die Stromstärke weiter umschreiben $I=\frac{Q}{T}=\frac{Q\cdot v}{l}$. Dieser Zusammenhang liefert eine Formel für die Ladung $Q$. ...
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Vorkenntnisse zur Analysis

  1. Gleichungen lösen
    Gleichungen lösen
    ... einer Funktion Nullstellen der 1. Ableitung (zur Bestimmung der Extrempunkte) Nullstellen der 2. Ableitung (zur Bestimmung der Wendepunkte)      $ 0=2x+5  \vert -5$$ 2x=-5   \vert:2 $$ x=-2,5 $      Ein zweites Anwendungsgebiet ist das Berechnen von Schnittpunkten. Dort werden zwei Gleichungen gleichgesetzt und nach x aufgelöst. Insbesonders bei Aufgaben in einem Sachzusammenhang ist das häufig verlangt. $-3x+4=2x-6  \vert-4$$-3x=2x-6-4   \vert-2x$$-3x-2x=-6-4$$-5x=-10 ...
  2. Umgang mit Potenzen
    Umgang mit Potenzen
    Umgang mit Potenzen
    In den folgenden zwei Video wird der Umgang mit Potenzen erläutern. Im ersten Video werden alle Regeln nochmal kurz erläutert und im zweiten Video ein komplexeres Beispiel vorgestellt. Die Potenzregeln Das Video wird geladen ... Beispiele zu den Potenzregeln Die einzelnen Regeln werden zum besseren Verständnis nochmals anhand von Beispielen erläutert. Das Video wird geladen ...
Vorkenntnisse zur Analysis
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Neurobiologie

  1. Experimentelles Arbeiten in der Neurobiologie
    Motorische Endplatte > Experimentelles Arbeiten in der Neurobiologie
    ... im Fokus, genauso wie die Messung bzw. Ableitung einzelner Aktionspotentiale. In der Grundlagenforschung sind das Aussehen und die Funktion der Nervenzelle gut etabliert. Präparation von Nervenbahnen und messen von Potentialen mit der Patch-Clamp-Methode geben Hinweise auf die Funktion der Nervenzelle. Diese Techniken sind ebenso Grundlage für das Verständnis von neurodegenerativen Krankheitsbildern, Drogenwirkung und der Informationsweiterleitung allgemein. Loligo oder auch die ...
  2. Präparation und Isolation von Nervenzellen
    Motorische Endplatte > Experimentelles Arbeiten in der Neurobiologie > Präparation und Isolation von Nervenzellen
    ... Nervenzell-Eigenschaften oder Potentialableitungen zu untersuchen Wie plane ich einen Versuch mit der Präparation von Nervenzellen aus der Grille? Vor der Präparation der Nervenzellen muss man sich zunächst die zellorganisatorischen Gegebenheiten des vorliegenden Organismus ins Gedächtnis rufen und den Versuch entsprechend planen. Eine Grille hat z.B. ein Strickleiternervensystem. Die Axone des Tintenfisches Loligo vulgaris z.B. sind unmyelinisiert und ziemlich groß und dick. Für ...
Neurobiologie
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Atomphysik und Kernphysik

  1. Das Zerfallsgesetz
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    Kernphysik 1 > Das Zerfallsgesetz
    Das Zerfallsgesetz
    ... Differentialquotienten benutzt werden, um die Ableitung bzw. die momentane Änderungsrate zu definieren. Die Aktivität $A$ eines radioaktiven Nuklids ist definiert als die Anzahl der Zerfälle pro Zeiteinheit. $A(t):=-\dot N(t)$ $\dot N(t)$ ist die Ableitung von $N(t)$ nach der Zeit $t$. Differenzieren wir nun entsprechend der Definition, so bekommen wir $A(t)=-\dot N(t)=N_0\cdot \lambda \cdot e^{-\lambda t}=\lambda \cdot N(t)$. Die Einheit ist $[A]=1 Bq=1 s^{-1}$ und heißt Becquerel ...
Atomphysik und Kernphysik
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Evolution

  1. Fossilien belegen die Menschwerdung
    Evolution des Menschen > Fossilien belegen die Menschwerdung
    ... Verhalten von heute lebenden Menschenaffen zur Ableitung des Verhaltens der Hominiden herangezogen. Studien von Jäger-und-Sammler-Gesellschaften bilden die Grundlage für verhaltenstheoretische Erkenntnisse bzgl. früher Menschen. Momentan stehen sämtliche Feststellungen zur Menschwerdung wissenschaftlich gesehen auf „eher wackeligen Beinen". Jeder weitere Fossilienfund kann das derzeit gültige Hypothesengebilde umwerfen und die Ideen der Wissenschaftler in eine völlig andere Richtung lenken. ...
Evolution
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Stoffwechsel

  1. Ausscheidungsprozesse
    Stoffwechsel vielzelliger Tiere - Wo kommt die Glukose her? > Ausscheidungsprozesse
    ... Bauchhöhle Harnleiter führt zur Harnblase (Ableitung) entspringt im Nierenbecken eigentliche Ausscheidung erfolgt über Nephron besteht aus Nierenkörperchen (Glomerulum) Nierenkanälchen Nierenkörperchen führt Arterie (Arteriole), verzweigt sich innerhalb der doppelwandigen Bowman-Kapsel zu einem Knäuel aus Blutbahnen, Kapillaren vereinigen sich wieder zu Arteriole erneute Aufteilung in Kapillaren außerhalb des Glomerulus umschlingen Nierenkanälchen, münden in Vene ...
Stoffwechsel
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