Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

  1. Potenzregel der Integration
    Einführung in die Integralrechnung > Integrationsregeln > Potenzregel der Integration
    ... x^{-3}+C $$\ = - \frac{5}{3x^3}+C $besonderes Integral von f(x)=$\frac{1}{x}$$\int{}{} \frac{-3}{x} dx=-3\cdot \int{}{}x^{-1} dx=-3\cdot \frac{1}{-1+1}\cdot x^{-1+1}+C=-3\cdot \frac{1}{0}\cdot x^{0}+C$Division durch 0 ist aber nicht erlaubt, daher geht die Integration da nicht. Richtig ist:$\int{}{} \frac{-3}{x} dx=-3\cdot \int{}{}x^{-1} dx=-3\cdot lnx+C$$\int{}{}\frac{1}{x}dx=lnx+C$
  2. Der Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechung
    Einführung in die Integralrechnung > Der Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechung
    Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung gliedert sich in zwei Teile:Für eine stetige Funktion f wird durch$$A(x) :=\int_{a}^{x}{ f(x) dx }$$ eine Stammfunktion A(x) zu f(x) definiert. A(x) wird auch Integralfunktion und Flächeninhaltsfunktion genannt.Es gilt $$A´(x) :=(\int_{a}^{x}{ f(x) dx })´=f(x) $$Jede andere Stammfunktion von f hat die Form F(x) = A(x) + c Ist F(x) eine Stammfunktion von f(x), so gilt $$\int_{a}^{b}{ f(x) dx }=F(b)-F(a)$$$$\int_{a}^{b}{ f(x) ...
  3. Das bestimmte Integral
    Einführung in die Integralrechnung > Das bestimmte Integral
    Bestimmtes Integral
    Das bestimmte Integral ist die Fläche zwischen der Kurve, der x-Achse, der Grenze a und der Grenze b.Bestimmtes IntegralDas bestimmte Integral wird mit dem Hautsatz der Integral- und Differentialrechung berechnet:$$\int_{a}^{b}{ f(x) dx }=[F(x)]_a^b=F(b)-F(a)$$1. Stammfunktion ausrechnen$$\int_{2}^{3}{ x²-1 dx }=[\frac{x^3}{3}-x]_2^3=F(3)-F(2)$$2. beide Grenzen in Stammfunktion einsetzen und voneinander subtrahieren$$=\frac{3^3}{3}-3-(\frac{2^3}{3}-2)=\frac{27}{3}-3-\frac{8}{3}+2=\frac{19}{3}-1=5,33$$In ...
  4. lineare Substitution
    Einführung in die Integralrechnung > Integrationsregeln > lineare Substitution
    ... $\int{}{}v²dv$Bestimmung von m, hier m=2Integral der äußeren Funktion v² berechnenF(2x+1)=F(v)=$\int{}{}v²dv=\frac{1}{3}v^3$Resubstitution der inneren Funktion v durch 2x+1F(2x+1)=$\frac{1}{3}\cdot(2x+1)^3$Ergebnis: $\int{}{}(2x+1)²dx$$=\frac{1}{m}\cdot F(mx+b)+C$$=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}(2x+1)^3+C$Berechnung von $\int{}{}\sqrt{-3x}dx=\int{}{}(-3x)^{\frac{1}{2}}dx$Substitution der inneren Funktion -3x durch v  ->  $\int{}{}v^{\frac{1}{2}}dv$Bestimmung ...
  5. Die Stammfunktion und das unbestimmte Integral
    Einführung in die Integralrechnung > Die Stammfunktion und das unbestimmte Integral
    ... unbestimmte IntegralZu einer Funktion gibt es aber nicht nur eine Stammfunktion, sondern eine Menge von Stammfunktionen, da an jede Stammfunktion eine beliebige Konstante addiert oder subtrahiert werden kann, die beim Ableiten wegfällt.Ausgangsfunktion f(x)=6x²-8xStammfunktion F(x)=2x³-4x²+4F´(x)=6x²-8x=f(x)Das unbestimmt Integral ist die Menge alle Stammfunktionen:$$ \int_{}^{}{ f(x) dx } =F(x)+c $$
  6. Integralrechnung - graphisches Integrieren
    Integralrechnung - graphisches Integrieren
    In diesem zweiten Teil der Integralrechnung geht es um das graphische Integrieren, d.h. wie kann ich aus dem Graphen der Ableitung, den Graphen der Ausgangsfunktion herleiten.Außerdem wird darauf eingegangen, wie Flächen unter einer Kurve, im Intervall oder auch zwischen 2 Graphen berechnet werden.Zum Schluss geht es um Aufgaben der Integralrechung im Abitur.Weiterführende Themen zur Integralrechnung wie Rotationsvolumen, Integration durch Substitution und partielle Integration werden ...
  7. Von der Summe zum Integral
    Einführung in die Integralrechnung > Von der Summe zum Integral
    ... und Untersummen, bei großen n wird als Integral bezeichnet. Das Integralzeichnen ergibt sich aus dem Summenzeichen, als langgestrecktes S.b ist die Breite eines Rechtecks.$$\lim_{n\to \infty} U(n)=\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n f(k\cdot b)\cdot b= \int_{0}^{10}{ f(x) dx } =\int_{0}^{10}{ f(x) dx } $$$$\lim_{n\to \infty} O(n)=\lim_{n\to \infty} \sum_{k=1}^n f(k\cdot b)\cdot b= \int_{0}^{10}{ f(x) dx } =\int_{0}^{10}{ f(x) dx } $$
  8. Fläche im Intervall
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Flächenberechnung > Fläche im Intervall
    2. Flchen ber und unter der x-Achse
    ... über und unter der x-Achse hast.Bestimmtes Integral über der x-AchseBestimmtes Integral über und unter der x-AchseGibt es Flächen über und unter der x-Achse müssen zuerst die Nullstellen berechnet werden.Fläche nur über der x-Achse1. Flächen nur über der x-Achsef(x)=x²+1A=$\int_{-2}^{2}(x²+1)dx =[\frac{x³}{3}+x]^2_{-2}$A$=\frac{2^3}{3}+2-(\frac{(-2)^3}{3}+(-2))=\frac{8}{3}+2+\frac{8}{3}+2$A$=\frac{16}{3}+4=\frac{16}{3}+\frac{12}{3}$A$=\frac{28}{3}=9,3$1. ...
  9. Einführung in die Integralrechnung
    Einführung in die Integralrechnung
    Wasserzuflussmenge-Zeit-Diagramm
    Die Integralrechnung ist eng mit der Differentialrechnung verbunden. Genau wie Plus/Minus, Mal/Geteilt, Potenzieren/ Wurzelziehen ist die Integralrechnung die Umkehrung der Differentialrechnung.Die Integralrechnung ist die Umkehrung der Differentialrechnung.Das heißt, wenn du eine abgeleitete Funktion f´(x) integrierst bekommst du wieder die Ausgangsfunktion f(x).$\int f´(x) dx =f(x)$f(x)=3x²-5x     f´(x)=6x-5$\int (6x-5) dx =3x²-5x$In der Integralrechnung ...
  10. Flächenberechnung
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Flächenberechnung
    Integral
    Wenn du das Integral berechnest, wird zwar die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse bestimmt, aber Flächen unter der x-Achse werden negativ berechnet. D.h. bei einer Funktion bei der es eine Fläche über der x-Achse gibt und eine Fläche unter der x-Achse und diese beiden Flächen sind gleich groß ist das Integral 0.Umgangssprachlich werden Flächen über der x-Achse oft als positive Flächen und Flächen unter der x-Achse als negative Flächen ...
  11. Die Integralrechung im Abitur
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Die Integralrechung im Abitur
    Abituraufgabe graphische Ableitung
    ... '.Die Teilaufgaben 1 und 3 haben direkt mit der Integralrechnung zu tun, diese wollen wir hier deshalb auch näher behandeln.Lösungen der original AbituraufgabeBevor du dir die Videos zur Lösung ansiehst, versuche die Aufgaben (1) und (3) selbst zu lösen. Diese beiden Aufgaben stehen in engem Zusammenhang mit dem graphischen Integrieren.Lösung zur Aufgabe (1)Das Video wird geladen ...Lösung zur Aufgabe (3)Das Video wird geladen ...Ergänzung zu den Teilaufgaben ...
  12. Fläche zwischen Graph und x-Achse
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Flächenberechnung > Fläche zwischen Graph und x-Achse
    Flche unter einer Kurve
    ... Fläche unter der x-Achse, daher muss vom Integral der Betrag genommen werden.A=|$\int_{-1}^{1}(x²-1)dx|=|[\frac{x³}{3}-x]^{1}_{-1}|$A$=|\frac{(1)^3}{3}-1-(\frac{(-1)^3}{3}-(-1))$|A$=|\frac{1}{3}-1+\frac{1}{3}-1|=|\frac{2}{3}-2|=|-1,33|=1,33$Fläche unter einer Kurve - negative FlächeFlächen unter und über der x-AchseFlächen unter und über der x-Achsef(x)=x³-3x²+2xHier müssen auch zuerst die Nullstellen berechnet werden.0=x³-3x²+2x=$x\cdot(x²-3x+2)$-> ...
  13. Einleitung Analysis I
    Einleitung Analysis I
    ... von e-Funktionen und Scharen inkl. OrtslinieIntegralrechnung bestimmtes und unbestimmtes IntegralFlächenberechnungFür jedes Unterkapitel gibt es Übungsaufgaben und am Schluss jedes großen Kapitels eine Kapitelabschlussprüfung.Schreibt bitte an support@abiweb.de, wenn ihr Fehler bemerkt, euch etwas fehlt oder ihr etwas näher erläutert haben wollt, z.B. mit einem Video.Versucht die Beispiele, die im Modul vorgerechnet werden entweder zuerst selbst zu rechnen ...
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Weiterführende Aufgaben der Analysis (Analysis 2)

  1. Newtonsches Abkühlungsgesetz: Integral berechnen
    Wachstums- und Zerfallsprozesse > beschränktes Wachstum > Abituraufgabe zum Newtonschen Abkühlungsgesetz > Newtonsches Abkühlungsgesetz: Integral berechnen
    ... Sie unter Angabe einer Stammfunktion das Integral$$\frac{1}{t_2-t_1} \int_{t_1}^{t_2}{ T(t) d }$$für $t_2 = 15 $ und $t_1 = 5$.Deuten Sie das Integral im Sachzusammenhang.Das Video wird geladen ...Das Video wird geladen ...
  2. Integralrechnung
    Integralrechnung
    ... folgenden Seiten werden erweiterte Probleme der Integralrechung behandelt:partielle IntegrationIntegration durch SubstitutionRotationsvolumen
  3. Rotationsvolumen
    Integralrechnung > Rotationsvolumen
    Häufig tritt auch die Frage nach dem Volumen eines Rotationskörpers bzw. eines Drehkörpers (z.B. ein Werkstück das auf einer Drehbank hergestellt wurde) auf.Zunächst muss man entscheiden, ob sich der Rotationskörper durch einen stetigen Funktionsgraphen und eine Rotation darstellen lässt (hierzu ist unbedingt die Definition von Funktionen zu wiederholen). Lässt sich die Rotationsachse auf die x-Achse bringen, so dass die Kurve die den Rand oberhalb derselben ...
  4. Einleitung zur weiterführenden Analysis
    Einleitung zur weiterführenden Analysis
    ... Tangenten- und NormalengleichungenProbleme der Integralrechnung (Rotationsvolumen, Integration durch Substitution)Für jedes Unterkapitel gibt es Übungsaufgaben und am jedes großen Kapitels eine Kapitelabschlussprüfung.Schreibt bitte an support@abiweb.de, wenn ihr Fehler bemerkt, euch etwas fehlt oder ihr etwas näher erläutert haben wollt, z.B. mit einem Video.Versucht die Beispiele, die im Modul vorgerechnet werden entweder zuerst selbst zu rechnen oder ihr lest ...
  5. partielle Integration
    Integralrechnung > partielle Integration
    ... Auf die letzte Gleichung kann nun der Integraloperator angewendet werden und es ergibt sich $\int{}{}u^\prime v = \int{}{}(u v)^\prime - \int{}{}u v^\prime = uv - \int{}{}u v^\prime $ unter Verwendung der Linearität (Summenformel).Die Integrationsregel $\int{}{}u^\prime v = uv - \int{}{}u v^\prime $ wird partielle Integration genannt.Dieser Sachverhalt ist oft dann nützlich, wenn man die Stammfunktion von u und sich das letzte Integral lösen lässt. In anderen Fällen ...
  6. Integration durch Substitution
    Integralrechnung > Integration durch Substitution
    ... Vorgehen einprägen:Gegeben ist ein Integral der Form $\int{}{}f(g(x)) \mathrm{d}x$.Wähle den inneren Term als "Substitutionsziel" und setze $t=g(x)$.Es gilt $t^\prime = \frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} \Rightarrow \mathrm{d}x = \frac{\mathrm{d}t}{t^\prime}$. (Dies muss nicht immer wieder notiert werden, es kann aber von Vorteil sein, da es zur Erklärung des Rechenweges beiträgt.)Setze das Ergebnis des zweiten Schrittes ins Integral ein: $\int{}{}f(g(x)) \mathrm{d}x = ...
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Ladungen und Felder

  1. Homogenes Feld
    Elektrische Ladungen und Felder > Elektrische Feldkonfigurationen > Homogenes Feld
    ... Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die Ableitung der Stammfunktion gleich der Funktion selbst. Die Stammfunktion von $a_{y}t$ ist das Integral$\int a_{y}t\, dt=\frac{1}{2}a_{y}t^{2}+y_{0}$.Zum Zeitpunkt $t=0$, also beim Eintritt in den Kondensator, befand sich das Elektron im Punkt $y(0)=y_{0}=0$. Kombiniert mit der ersten Gleichung für $a_{y}$ erhält man die Funktion$y(t)=\frac{1}{2}a_{y}t^{2}=\frac{e}{2m}Et^{2}$.b) Analyse der Bewegung in $z$-Richtung:Da ...
  2. Arbeit im elektrischen Feld
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Elektrische Ladungen und Felder > Arbeit im elektrischen Feld
    ... Kurve $C$ beschrieben, so ist die Arbeit als Integral darstellbar:$W=\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{s}=\int_{C}F\cdot \cos\alpha\, ds $Man spricht von einem Kurvenintegral. Die Bemerkung zum Kurvenintegral sollte an dieser Stelle als Nebeninformation betrachtet werden, da wir nicht mit solchen allgemeinen Integralen weiter operieren werden. Wer jedoch Freude an neuen physikalisch- mathematischen Formeln hat, dem soll diese Anmerkung als Anregung dienen.Arbeit an einer Punktladung im PlattenkondensatorNehmen ...
  3. Magnetische Feldkonfigurationen
    Elektrische Ströme und magnetische Felder > Magnetische Feldkonfigurationen
    Magnetische Feldlinien einer Spule
    ... Stromverteilungen kann mit Hilfe der Integralsätze der Elektrodynamik exakt gelöst werden. Doch dazu reicht die Schulmathematik nicht aus.Dennoch können wir hier einige Feldlinienverläufe von Magnetfeldern angeben, indem wir uns als Phänomenologen begreifen, die auf experimentelle Resultate zurückgreifen. Eines der wichtigsten Naturprinzipien der Physik ist uns bereits im Fall der elektrischen Felder begegnet und wird hier auch sichtbar werden: Das Prinzip ...
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Relativitätstheorie

  1. Relativistische Energie
    Relativistische Dynamik > Relativistische Messgrößen > Relativistische Energie
    ... im elektrischen Feld hatten wir eine allgemeine Integralformel für die Arbeit und Energie kennengelernt. Demnach kann die kinetische Energie $E_{kin}$, die ein Körper entlang eines Weges der Länge $s$ auf der $x$-Achse erhält, wie folgt berechnet werden$E_{kin}=\int_0^s F\,dx$.Setzen wir nun die obige Formel für die Kraft in dieses Integral ein, so bekommen wir den Ausdruck$E_{kin}=\int_{0}^{s} \frac{dp}{dt}\,dx$.Die im Ausdruck auftretenden Differentiale können mittels ...
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Atomphysik und Kernphysik

  1. Diskrete Energiezustände
    Atommodelle > Bohrsches Atommodell > Diskrete Energiezustände
    ... zu bringen. Dazu bedienen wir uns eines Kraftintegrals, das im Kap. Ladungen und Felder genauer erläutert wird und die gesuchte Arbeit ergibt.$E_{pot,n}=W_{\infty\to r_n}=\int_{\infty}^{r_n}\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0r^2}\,dr=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0}\left.(\frac{1}{r})\right|_{\infty}^{r_n}=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0r_n} $Mit der zuvor bestimmten Formel für $r_n$ kommt man zu dem Ergebnis$\Rightarrow E_{pot,n}=-\frac{Ze^2}{4\pi\epsilon_0r_n}=-\frac{m_e e^4}{4\epsilon^2_0h^2}\frac{Z^2}{n^2}$Es ...
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Stoffwechsel

  1. Charakteristischen Reaktionen
    Grundlagen des Stoffwechsels > Energieumwandlung > Wege der Energieumwandlung - Basiswissen Chemie > Kohlenwasserstoffe und funktionelle Gruppen > Charakteristischen Reaktionen
    ... oder der Lichtreaktion der Fotosynthese ein integraler Membranbestandteil.Redoxreaktionen sind im zentralen Stoffwechsel sehr gut am Einsatz der Redoxäquivalente NAD+ oder FAD zu erkennen! So wird das NAD+ als Elektronenakzeptor zur Aufnahme von Elektronen (und einem Proton) eingesetzt. NADH fungiert wiederum als Elektronendonor in anderen Stoffwechselreaktionen.Beispielreaktion: H-CH2-OH + NAD+ ⇌ 2HC=O + NADH+H+                                  ...
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