Bedingungen für Extrempunkte
Zu den Extrempunkten gehört der Hochpunkt (Maximum, HP, Max) und der Tiefpunkt (Minimum,TP, Min). Hochpunkt sowie Tiefpunkt gehören, neben dem Sattelpunkt, zu den Punkten mit waagerechter Tangente.
Berechnung des Hochpunkts und des Tiefpunkts
Die Berechnung der Extrempunkte erfolgt über zwei Bedingungen.
Merke
- notwendige Bedingung f´(x) = 0
- hinreichende Bedingung f``(x) > 0 (TP) oder f´´(x) < 0 (HP)
Diese Bedingungen können aus den folgenden Abbildungen abgeleitet werden:
Jeder Extrempunkt zeichnet sich dadurch aus, dass er eine waagerechte Tangente hat, d.h. das dort die Steigung Null ist. Da Steigung und Ableitung das selbe sind, ist auch die 1. Ableitung f´(x) an dieser Stelle Null. Daraus ergibt sich die erste Bedingung:
Merke
f´(x)=0, diese ist notwendig für die Existenz eines Extrempunktes. Das ist für HP und für TP so.
Wird jetzt die 1. Ableitung nochmal abgeleitet ergeben sich Unterschiede zwischen HP und TP. Daraus wird die hinreichende Bedingung abgeleitet. Für einen Hochpunkt ist die zweite Ableitung immer negativ, für einen Tiefpunkt immer positiv. Zusammen gefasst ergibt sich als hinreichende Bedingung, dass die zweite Ableitung nicht Null sein darf.
Merke
f``(x)$ \neq $0, für f´´(x) > 0 -> TP, für f´´(x) < 0 -> HP
Expertentipp
Es gibt Sonderfälle, bei denen du solange x in weitere Ableitungen der Ursprungsfunktion einsetzen musst, damit die Bedingungen erfüllt sind, die du gerade gelernt hast.
So erhälst du bei der Funktion $f(x)=x^4$ erst ab der vierten Ableitung die Lösung $f````(0)=24$. Damit ist die Bedingung erfüllt, dass das Ergebnis einer Ableitung größer null ist, und somit ein Tiefpunkt vorliegt.
Da die Bedingung f``(x)$ \neq $0 nicht erfüllt ist, bezeichnet man den Tiefpunkt auch als Sattelpunkt, da f``(x)=0 ist.
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