Differentialgleichung

Wir gehen nun dazu über eine Differentialgleichung für den Schwingkreis herzuleiten, die man auch als (elektromagnetische) Schwingungsdifferentialgleichung bezeichnet.Zu der Herleitung gibt es im Wesentlichen zwei Methoden:Man nutzt die Tatsache, dass die Gesamtenergie im Schwingkreis konstant ist.Man nutzt die Kirchhoffsche Maschenregel.Obwohl die erste Methode im Hinblick auf die Ideen der höheren Physik sehr attraktiv erscheint, nutzen wir hier die 2. Methode, die einen geringeren ...

... $a=\dot v=\ddot y$.Herleitung der SchwingungsdifferentialgleichungWir können also die Gleichung zunächst einmal so schreiben$F=m\cdot \frac{d^2 y}{dt^2}$ bzw. $F=m\cdot \ddot y$Doch was ist nun die Kraft $F$?Man erinnere sich daran, dass für eine Feder das hookesche Gesetz (Kraftgesetz) gilt: Die Kraft $F$ ist proportional zur Auslenkung $y$ der Feder und die Proportionalitätskonstante ist die Federkonstante $D$. Darüber hinaus fungiert die Kraft $F$ als rücktreibende ...

... (Masse)$W_{kin}=\frac{1}{2}mv^2$Schwingungs-Differentialgleichung$\ddot Q + \frac{1}{LC}Q=0$$\ddot y + \frac{D}{m}y=0$SystemgrößenInduktivität $L$Kehrwert Kapazität $\frac{1}{C}$Masse $m$Federkonstante $D$LösungSchwingungsgleichung$Q(t)=Q_{max}\sin{(\omega t + \phi_0)}$$y(t)=y_{max}\sin{(\omega t + \phi_0)}$Eigenfrequenz$f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{1}{LC}}$$f=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{D}{m}}$Ob nun mechanische oder elektromagnetische Schwingung, es gibt sowohl mathematische ...

... \dot I\cdot I$.Dies ist offensichtlich eine Differentialgleichung. Die Lösung der Gleichung bekommt man aber einfach, wenn man die Kettenregel der Analysis gebraucht. Du solltest das Resultat selber durch Ableiten verifizieren.$\dot W_{mag}=L\cdot \dot I\cdot I$ wird durch $W_{mag}=\frac{1}{2}L\cdot I^2$ gelöst.Man leitet zur Verifikation einfach mittels Kettenregel ab:$\dot W_{mag}=\frac{1}{2}L\cdot 2\cdot \dot I\cdot I=L\cdot \dot I\cdot I$ZusammenfassungDas Phänomen der Selbstinduktion ...

... Wachstum zu Grunde liegen.Stellen Sie die Differentialgleichung für die zeitliche Entwicklung der Dicke der Fichten auf unter der Annahme, dass logistisches Wachstum vorliegt.Zeigen Sie, dass d diese Differentialgleichung löst.LösungsskizzeMomentane Änderungsrate der Dicke $ \sim $ Bestand $\cdot $ (Sättigung – Bestand):$ d^\prime (t) = c \cdot d(t) \cdot [S - d(t)] $Bestimmung der Sättigung: $ S = \lim_{t \to \infty} d(t) = \lim_{t \to \infty} \frac {1} ...

... dass diese Prozesse häufig durch Differentialgleichungen (DGL) beschrieben werden. Da positive Änderungsraten zu Wachstums- und negative zu Zerfallsprozessen führen, wird immer nur auf eine Art Prozess verwiesen, aber die Aussagen gelten in beiden Fällen.Verschiedene ProzessartenDie verschiedenen Prozessarten werden durch die Änderungsrate klassifiziert:Änderungsrate konstant - lineares WachstumÄnderungsrate ~ Bestand - exponentielles WachstumVerbrauch ...

... diese Gleichung (sogenannte Differentialgleichung) zu lösen, kann man folgenden Trick benutzen: Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ist die Ableitung der Stammfunktion gleich der Funktion selbst. Die Stammfunktion von $a_{y}t$ ist das Integral$\int a_{y}t\, dt=\frac{1}{2}a_{y}t^{2}+y_{0}$.Zum Zeitpunkt $t=0$, also beim Eintritt in den Kondensator, befand sich das Elektron im Punkt $y(0)=y_{0}=0$. Kombiniert mit der ersten Gleichung für $a_{y}$ ...