Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

  1. Einleitung Analysis I
    Einleitung Analysis I
    ... und unbestimmtes Integral Flächenberechnung Für jedes Unterkapitel gibt es Übungsaufgaben und am Schluss jedes großen Kapitels eine Kapitelabschlussprüfung. Schreibt bitte an support@abiweb.de, wenn ihr Fehler bemerkt, euch etwas fehlt oder ihr etwas näher erläutert haben wollt, z.B. mit einem Video. Versucht die Beispiele, die im Modul vorgerechnet werden entweder zuerst selbst zu rechnen oder ihr lest euch die Lösung erst durch und rechnet die Aufgabe nach ein paar ...
  2. Die graphische Ableitung
    Verständnis der Ableitung > Die graphische Ableitung
    Die graphische Ableitung
    ... Ableitung? Woher kommen die Bedingungen zur Berechnung von Hochpunkten, Tiefpunkten und Wendepunkten? Dieses Verständnis kann sich dir nur erschließen, wenn du die Bedeutung der Ableitung 100% verstanden hast und graphisch ableiten kannst. Auf den folgenden Seiten erhälst du daher eine Schritt für Schritt - Anleitung zum graphischen Ableiten. Am Ende dieser Einheit wird sich auch dein Verständnis was die Ableitung bedeutet vertieft haben. Wichtig beim graphischen Ableiten ist immer, ...
  3. y-Wert berechnen
    Grundaufgaben der Analysis > y-Wert berechnen
    y-Wert berechnen
    Die Berechnung des y-Wertes bei gegebenen x-Wert ist die einfachste Aufgabe. Hier muss der x-Wert in die gegebene Funktion eingesetzt werden. f(x)=$x^3-2x+1$ Aufgabe: Berechne den Wert an der Stelle -3. Die -3 wird für x in die gesamte Funktion eingesetzt, also auch bei f(x) f(-3)=$(-3)^3-2(-3)+1=-27+6+1=-20$ f(-3) wird gesprochen f von -3 oder f an der Stelle 3. Mit Wert ist immer der y-Wert gemeint, deshalb heißt der y-Bereich auch Wertebereich. Mit Stelle ist immer der x-Wert ...
  4. x-Wert berechnen
    Grundaufgaben der Analysis > x-Wert berechnen
    x-Wert berechnen
    Die Berechnung des x-Wertes bei gegebenen y-Wert ist schon schwieriger. Hier muss der y-Wert bzw. f(x) mit der gegebenen Funktion gleichgesetzt  und die entstehende Gleichung nach x aufgelöst werden.(Auf die verschiedenen Methoden zum Auflösen von Gleichungen wird im Modul "Analysis Grundlagen" eingegangen.) f(x)=$x^2-6x+9$ Aufgabe: Berechne die x-Koordinate für f(x)=4 1. Die 4 wird mit der gesamten Funktion gleichgesetzt 4=$x^2-6x+9$ 2. Die Gleichung wird nach x aufgelöst. Da es ...
  5. Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
    Grundaufgaben der Analysis > Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
    Die Berechnung der Steigung bei gegebenen x-Wert ist so ähnlich wie die Aufgabe zu den y-Wert zu berechnen. Hier muss der x-Wert in die Ableitungsfunktion eingesetzt werden, da die Ableitungsfunktion die Tangentensteigungsfunktion ist und die Ableitung an einer Stelle = der Steigung an der Stelle ist. f(x)=$x^3-2x+1$      f´(x)=$3x^2-2$ Aufgabe: Berechne die Steigung an der Stelle -3. Die -3 wird für x in die gesamte Ableitungsfunktion eingesetzt, also auch bei f´(x) f´(-3)=$3\cdot ...
  6. Punkt zu einer gegebenen Steigung berechnen
    Grundaufgaben der Analysis > Punkt zu einer gegebenen Steigung berechnen
    Die Berechnung eines Punktes, also der x- und der y-Koordinate, auf dem Graphen bei gegebener Steigung vereinigt die Berechnung des x-Wertes und die Berechnung des y-Wertes. Berechnung des x-Wertes zur vorgegebenen Steigung, d.h die Ableitungsfunktion wird mit der gegebenen Steigung gleichgesetzt und nach x aufgelöst. Berechnung des y-Wertes mit dem berechneten x-Wert, d.h. der x-Wert wird in die Ausgangsfunktion eingesetzt. $f(x)=x^3-2x+1$      $f´(x)=3x^2-2$ Aufgabe: Berechne den ...
  7. Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    ... zu können ist es ganz wichtig, dass die Berechnung von Nullstellen und das Ableiten von Funktionen gekonnt werden. Das Berechnen von Nullstellen gehört zum Lösen von Gleichungen und wird in einem extra Modul "Vorkenntnisse zur Analysis" behandelt.
  8. Nullstellen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Schnittpunkte mit den Achsen > Nullstellen
    Nullstellen
    ... Quadratische Funktion mit Nullstelle Berechnung der Nullstelle Die Nullstelle wird berechnet, indem in die gesamte Funktion Null gesetzt wird, d.h. die Gleichung f(x)=0 wird nach x umgestellt. f(x)=x²-4=00=x0²-4    /+4x0²=4       /$\surd$x0=$\pm\sqrt4$x0=$\pm$2x01=+2x02=-2 Die Berechnung der Nullstellen sollte aus der Mittelstufe bekannt sein. Bei Problemen bearbeite bitte zuerst das Kapitel Nullstellen aus dem Modul "Grundlagen der Analysis". Besitzt du einen CAS-Taschenrechner, ...
  9. Bedingungen für Extrempunkte
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Extrempunkte > Bedingungen für Extrempunkte
    Bedingungen für Extrempunkte
    ... zu den Punkten mit waagerechter Tangente. Berechnung des Hochpunkts und des Tiefpunkts Die Berechnung der Extrempunkte erfolgt über zwei Bedingungen. notwendige Bedingung f´(x) = 0 hinreichende Bedingung f``(x) > 0 (TP) oder f´´(x) < 0 (HP)  Diese Bedingungen können aus den folgenden Abbildungen abgeleitet werden: Maximum Minimum Jeder Extrempunkt zeichnet sich dadurch aus, dass er eine waagerechte Tangente hat, d.h. das dort die Steigung Null ist. Da Steigung ...
  10. Bedingungen für Wendepunkte
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte > Bedingungen für Wendepunkte
    Bedingungen für Wendepunkte
    ... bzw. Sattelpunkt. Die Berechnung der Wendepunkte erfolgt über zwei Bedingungen: 1. notwendige Bedingung f´´(x) = 02. hinreichende Bedingung f´´´(x) > 0 (RL-WP) oder f´´´(x) < 0 (LR-WP) Diese Bedingungen können aus den folgenden Bildern abgeleitet werden: Rechts-Links-Wendepunkte Für Rechts-Links-Wendepunkte gilt folgendes: Rechts-Links-Wendepunkt mit positiver Steigung Rechts-Links-Wendepunkt ohne Steigung Rechts-Links-Wendepunkt mit negativer ...
  11. Berechnung von Wendepunkten
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1 > Wendepunkte > Berechnung von Wendepunkten
    Berechnung von Wendepunkten
    ... schneller. Im nachfolgenden Video wird die Berechnung des Wendepunktes mit dem Classpad 330 gezeigt. Das Video wird geladen ...
  12. Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2 > Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    ... Rechnerische Bestimmung durch Berechnung von f(0), d.h. x wird in der Funktionsgleichung Null gesetzt. f(0)=(0-2)²-4=4-4=0 Ergebniss: y0=0 Nullstellen Bedingung: f(x)=0                 0=x²+4x,                  Bei dieser Form der quadratischen Gleichung (x² und x) ist es am schnellsten                  x auszuklammern und die einzelnen Faktoren Null zu setzen.                 0=x(x+4)                ...
  13. Einführung in die Integralrechnung
    Einführung in die Integralrechnung
    Einführung in die Integralrechnung
    ... zum Integral, die Integrationsregeln und die Berechnung des unbestimmten und des bestimmten Integrals.
  14. lineare Substitution
    Einführung in die Integralrechnung > Integrationsregeln > lineare Substitution
    lineare Substitution
    ... F(mx+b)+C$ Berechnung von $\int{}{}(2x+1)²dx$ Substitution der inneren Funktion 2x+1 durch v  ->  $\int{}{}v²dv$ Bestimmung von m, hier m=2 Integral der äußeren Funktion v² berechnenF(2x+1)=F(v)=$\int{}{}v²dv=\frac{1}{3}v^3$ Resubstitution der inneren Funktion v durch 2x+1F(2x+1)=$\frac{1}{3}\cdot(2x+1)^3$ Ergebnis: $\int{}{}(2x+1)²dx$$=\frac{1}{m}\cdot F(mx+b)+C$$=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}(2x+1)^3+C$ Berechnung von $\int{}{}\sqrt{-3x}dx=\int{}{}(-3x)^{\frac{1}{2}}dx$ Substitution ...
  15. Der Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechung
    Einführung in die Integralrechnung > Der Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechung
    ... nennt man bestimmte Integrale. Wie die Berechnung genau erfolgt, erfährst du auf der nächsten Seite.
  16. Fläche im Intervall
    Integralrechnung - graphisches Integrieren > Flächenberechnung > Fläche im Intervall
    Fläche im Intervall
    Bei der jeder Flächenberechnung must du zuerst klären, ob zwischen deinen beiden äußeren Grenzen Nullstellen liegen, d.h. ob du nur Flächen über oder unter der x-Achse hast oder ob du Flächen über und unter der x-Achse hast. Bestimmtes Integral über der x-Achse Bestimmtes Integral über und unter der x-Achse Gibt es Flächen über und unter der x-Achse müssen zuerst die Nullstellen berechnet werden. Fläche nur über der x-Achse 1. Flächen nur über der x-Achse f(x)=x²+1 A=$\int_{-2}^{2}(x²+1)dx ...
  17. Ortslinien von Kurvenscharen
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Besonderheiten von Kurvenscharen > Ortslinien von Kurvenscharen
    ... Bitte Box anklicken, um GeoGebra zu laden. Berechnung der Ortslinie Die Berechnung der Ortslinie erfolgt immer ausgehend vom Extrem- oder Wendepunkt der Kurvenschar. An den Koordinaten der Kurvenschar lässt sich auch erkennen, welcher der drei Fälle auftritt. weder im x- noch im y-Wert ist der Parameter enthalten ( TP (3/5)) im x-Wert ist kein Parameter, aber im y-Wert ( HP (3/2t), die Ortslinie hat dann die Gleichung x=3. im y-Wert ist kein Parameter, aber im x-Wert ( WP (3t/2), ...
  18. kubische Funktionenschar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar
    ... Hochpunkt und einen Tiefpunkt. Das muss bei den Berechnungen dann auch herauskommen. Ähnlich ist es bei den Nullstellen. Auch da gibt es Unterschiede bei t0. Bei t0 drei Nullstellen. Bei der Berechnung müssen also die Nullstellen und die Extremstellen in Abhängigkeit von t klassifiziert werden.
  19. Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar
    y-Achsenabschnitt Rechnerische Bestimmung durch Berechnung von f(0), d.h. x wird in der Funktionsgleichung Null gesetzt. f(0)=-2t$\cdot 0³+3t² \cdot 0$=0 Ergebniss: y0=0 Nullstellen Bedingung: f(x)=0                 0=-2tx³+3t²x,                  Bei dieser Form der kubischen Gleichung muss                  x ausgeklammert werden und die einzelnen Faktoren Null gesetzt werden.                 0=x(-2tx²+3t²)                ...
  20. Extrempunkte kubische Schar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Extrempunkte kubische Schar
    Extrempunkte Berechnung der Extrempunkte der Beispielfunktion ft(x)=-2tx³+3t²x a) x-Werte berechnen Bedingung: f´(x)=0                 f´(x)=-6tx²+3t²                 0=-6tx²+3t², nach x² umstellen                 0=-6tx²+3t²       /+6tx²                6tx²=3t²              /: 6t  (nur möglich wenn t nicht 0)                 x²=$\frac{3}{6}$ t   / $\sqrt {}$               ...
  21. Wendepunkte kubische Schar
    Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen > Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung > kubische Funktionenschar > Wendepunkte kubische Schar
    Wendepunkte Berechnung der Wendepunkte der Beispielfunktion f(x)=-2tx³+3t²x a) x-Werte berechnen Bedingung: f´´(x)=0 f(x)=-2tx³+3t²xf´(x)=-6tx²+3t²f´´(x)=-12tx 0=-12tx   /  : -12t (nur möglich wenn t nicht 0)x=0xW1=0 Es gibt also immer einen Wendepunkt wenn t $\neq0$. Ergebnis: xW1=0 für t$\neq0$ b) y-Werte berechnen Einsetzen der Extremstellen in die Ausgangsfunktion yW1=f(xW1)=f(0)=-2t$\cdot(0)³+3t²\cdot0$=0 Ergebnis: yW1=0 c) Überprüfung auf LR- bzw. RL-Wendepunkte ...
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Anorganische Chemie

  1. pH-Konzept
    Donator-Akzeptor > Säure-Base-Konzept > pH-Konzept
    pH-Konzept
    ... des Wassers) pH-Wert eines sauren Apfels Berechnung des pH-Wertes: starke Säuren:    starke Basen:   pH = -log (c(HA)) 14 - pOH = pH 14 -(-log(c(B))) = pH         schwache Säuren:        schwache Basen: pH = 1/2 (pKS-log(c(HA)) 14 - (1/2 pKB-log(C(B))) = pH Beispielwerte Stoff Werte Salzsäure pKS = -6, sehr starke Säure, pH = 1 Essigsäure pKS = 4,75, schwache Säure Salpetersäure pKS = ...
  2. Titrationsverfahren
    Donator-Akzeptor > Säure-Base-Konzept > Titrationsverfahren
    Titrationsverfahren
    ... Bereich. NP = 7 NP ≠ AP Beispielberechnung: Eine unbekannt konzentrierte HCl-Lösung mit dem Volumen von 20 ml wird mit einer 1M NaOH-Lösung titriert, es werden ca. 20,5 ml an NaOH hinzugegeben. c(HCl) = c(Natronlauge) * V(Natronlauge)/V(Salzsäure) = (1 mol/l  * 20,5 ml) : 20 ml = 1,025 mol/l Die Salzsäure hat eine Konzentration von ca. 1 mol/l.
  3. Elektrochemische Spannungsreihe
    Donator-Akzeptor-Prinzip > Redox-Chemie > Redoxreaktionen: Elektrochemie > Elektrochemische Spannungsreihe
    Elektrochemische Spannungsreihe
    Die Fragen die sich bei diesen Beobachtungen stellen, sind: Welche Triebkraft steckt dahinter? Warum gibt das Eisen bzw. das Zink freiwillig Elektronen an die Kupfer-Ionen ab? Findet dieser Prozess auch umgekehrt freiwillig statt? Die letzte Frage muss mit „nein“ beantwortet werden. Elementares Kupfer gibt nicht freiwillig Elektronen an Eisen bzw. an Zink ab. Der richtige Ansatz zur Erklärung dieses Vorgangs ist die Einteilung (u.a.) der Metalle in edle und in unedle Metalle. Zu den edlen Metallen ...
  4. Elemente und Atomaufbau
    Stoffe und Stoffeigenschaften > Elemente und Atomaufbau
    Elemente und Atomaufbau
    ... machen muss um es zu verstehen. Zu dieser Berechnung brauchen wir erst die Quantenzahlen n und l. Die Hauptquantenzahl n gibt uns die Schalen-Nummer nach Bohr an. Neu ist die Nebenquantenzahl l. Diese berechnet man über die Formel: l = n-1. Somit ist l von n abhängig. Schauen wir uns dazu die  Schale n=1 an, dann ergibt sich l= 0. Die Null steht für ein s-Orbital. Somit hat die Schale 1 ein s-Orbital, indem zwei Elektronen Platz haben. Bei der Schale n = 2 ergibt sich l = 2-1 = 1. Die ...
  5. Chemisches Rechnen
    Stoffe und Stoffeigenschaften > Chemisches Rechnen
    ... ist eine relative Masse angegeben, die wir zur Berechnung der molaren Masse verwenden können. Beim Element Wasserstoff (H) steht die Masse von 1; also wird die molare Masse so ausgedrückt: M(H) = 1g/mol. In der Regel kommt Wasserstoff molekular vor (H2). Somit ergibt sich die Molare Masse von molekularem Wasserstoff zu M(H2) = 2g/mol. So geht man bei jeder Verbindung vor. Man schaut sich an, aus welchen Elementen diese aufgebaut ist, sucht die Massen aus dem Periodensystem heraus und addiert ...
  6. Galvanisches Element und Nernstgleichung
    Donator-Akzeptor > Redox-Reaktionen-Konzept > Galvanisches Element und Nernstgleichung
    Galvanisches Element und Nernstgleichung
    ... 2 e- --> 2 HF 3,03 V Potentialberechnung Das Video wird geladen ... Potentialberechnung: E  = E0(Kathode) – E0(Anode) •       E negativ, läuft nicht ab •       E positiv, läuft ab Nernstsche Gleichung und die Konzentrationshalbzelle Bisher wurden nur Zellen bei 25 °C behandelt und die Lösungen hatten stets eine Konzentration von einem Mol pro Liter. Wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind (z.B. Natrium-Schwefel-Akkumulator bei 300 °C), stimmen ...
  7. Chemische Reaktionen
    Chemische Reaktionen
    Chemische Reaktionen
    ... bei chemischen Reaktionen und ermöglicht die Berechnung der umgesetzten Massen oder Volumina der Reaktionspartner. Die stöchiometrischen Umsetzungen von chemischen Reaktionspartnern, die als Atome, Moleküle oder Ionen vorliegen können, folgen dabei den Gesetzen der chemischen Bindung. Bei dieser Reaktion erhalten wir aus zwei Teilchen Natrium und einem Teilchen Chlorgas zwei Teilchen Natriumchlorid. Der Index gibt in der Summenformel einer Verbindung an, wie viele Atome und/oder Ionen der ...
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Vorkenntnisse zur Analysis

  1. Gleichungen lösen
    Gleichungen lösen
    ... tatsächlich zu lösen. Die Nullstellenberechnung taucht in der Analysis an mehreren Stellen auf: Nullstellen einer Funktion Nullstellen der 1. Ableitung (zur Bestimmung der Extrempunkte) Nullstellen der 2. Ableitung (zur Bestimmung der Wendepunkte)      $ 0=2x+5  \vert -5$$ 2x=-5   \vert:2 $$ x=-2,5 $      Ein zweites Anwendungsgebiet ist das Berechnen von Schnittpunkten. Dort werden zwei Gleichungen gleichgesetzt und nach x aufgelöst. Insbesonders bei Aufgaben ...
  2. Quadratische Gleichungen lösen
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen
    ... gleichsetzen. Dies tritt auf bei: Nullstellenberechnung Berechnung eines x-Wertes zu gegebenen y-Wert Schnittpunktberechnung von zwei Funktionen Nullstellen Nullstellenberechnung$f(x)=3x²-4x+5$$0=3x²-4x+5$Diese quadratische Gleichung muss nun gelöst werden. x-Wert Berechnung eines x-Wertes zu einem gegebenen y-Wert$f(x)=-2x²+5, y-Wert f(x)=4$$4=-2x²+5$Diese quadratische Gleichung muss nun gelöst werden. Schnittpunkt Schnittpunktberechnung von zwei Funktionen$f(x)=-5x²   ...
  3. Quadratische Funktionen lösen
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen > Quadratische Funktionen lösen
    Quadratische Funktionen lösen
    ... aussehen: $ax²=-c$ $0=ax²+c$ (Nullstellenberechnung) Bei beiden Gleichungen wird zuerst einmal so umgestellt, dass x² alleine steht. $ax²=-c  \vert :a$ $0=ax²+c    \vert  -c$ $-c=ax²      \vert :a$ $x²=\frac{-c}{a}$ Die Umkehroperation des Quadrierens ist das Wurzelziehen, daher wird nun auf beiden Seiten die Wurzel, genauer gesagt die Quadratwurzel, gezogen.$ x²=\frac{-c}{a}    /   \surd$    $ x= \pm \sqrt {\frac{-c}{a}}$ $x_1=\sqrt {\frac{-c}{a}}$$x_2=-\sqrt ...
  4. Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen > Quadratische Funktion durch Ausklammern lösen
    ... $ax²=-bx$ $0=ax²+bx$ (Nullstellenberechnung) Hier muss man die erste Gleichung so umstellen, dass diese die Form der zweiten hat. $ax²=-bx \vert +bx$$0=ax²+bx$ $0=ax²+bx$ Nun darf nicht einfach durch x dividiert werden, da x auch 0 sein kann und man durch 0 nicht teilen darf. Außerdem geht so die Lösung x=0 verloren. Der nächste Schritt ist daher das Ausklammern von x.$0=x\cdot (ax+b)$Dieser Schritt wird auch faktorisieren genannt. Man erhält eine Gleichung in ...
  5. Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen
    Gleichungen lösen > Quadratische Gleichungen lösen > Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen
    Quadratische Funktionen mit pq-Formel und Mitternachtsformel lösen
    ... ax²+bx=-c$ $0=ax²+bx+c$ (Nullstellenberechnung) Diese Form der quadratischen Gleichung kann mit der p-q-Formel oder mit der quadratischen Ergänzung gelöst werden. Da die pq-Formel in jeder Formelsammlung zu finden ist, wird diese auch meist für das Lösen von quadratischen Gleichungen verwendet. Um die pq-Formel anzuwenden muss die quadratische Gleichung in der sogenannten Normalform vorliegen. Normalform einer quadratischen Gleichung: 0=x²+px+q Normalform bedeutet      links ...
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Atomphysik und Kernphysik

  1. Diskrete Bahnradien
    Atommodelle > Bohrsches Atommodell > Diskrete Bahnradien
    Wir wollen uns nun mit der Berechnung der Bahnradien $r_n$ des Bohrschen Atommodells befassen. Dazu benötigen wir folgende Voraussetzung: Wir betrachten ein Ein-Elektronen-Atom mit der Kernladungszahl $Z$, was einem Atom mit einem Elektron in der Elektronenhülle und $Z$ Protonen im Kern entspricht. Die zwischen dem Elektron der Ladung $e$ und dem Kern der Ladung $Ze$ wirkende anziehende Kraft ist die bekannte Coulombkraft (siehe auch Kap. Ladungen und Felder). Bahnradien $r_n$ Berechnung ...
  2. Diskrete Energiezustände
    Atommodelle > Bohrsches Atommodell > Diskrete Energiezustände
    Wir wollen uns nun mit der Berechnung der Energien $E_n$ befassen. Dazu benötigen wir folgende Voraussetzungen: Wir betrachten wieder ein Ein-Elektronen-Atom mit der Kernladungszahl $Z$, was einem Atom mit einem Elektron in der Elektronenhülle und $Z$ Protonen im Kern entspricht. Die Bewegung des Kerns ist vernachlässigbar, wodurch die Energie des Atoms allein durch die Energie des Elektrons bestimmt ist. Die (gesamte) Energie des Elektrons ist die Summe aus seiner kinetischen Energie und ...
  3. Termschema, Spektrallinien- Wasserstoffatom
    Dieser Text ist als Beispielinhalt frei zugänglich!
    Atommodelle > Bohrsches Atommodell > Termschema, Spektrallinien- Wasserstoffatom
    Termschema, Spektrallinien- Wasserstoffatom
    ... und es handelt sich um ein freies Elektron. Berechnung der Ionisierungsenergie Energie des Elektrons im Grundzustand $n=1$: $E_1=-13,6 eV$ (Mindest-)Energie des Elektrons im freien Zustand $n\rightarrow \infty$: $E_{\infty}=0 eV$ Die Ionisierungsenergie resultiert dann einfach als Differenz $\Delta E$ $\Delta E=E_{\infty}-E_1=13,6 eV$.
  4. Kernfusion
    Kernphysik 2 > Anwendung: Nutzung der Kernenergie > Kernfusion
    Kernfusion
    ... auch als Deuterium und $^3_1H$ als Tritium. Berechnung des Energiebetrags $\Delta E$ Die Berechungsmethoden und Herleitungen sind hier die gleichen wie im Fall der Kernspaltung. Wir führen sie nochmal an: Methode 1: Berechnung aus Kernmassen (siehe unteres Video und/oder Text Kernspaltung) Methode 2: Berechnung aus Kernbindungsenergien Diese 2. Methode ist natürlich ganz besonders einfach, wenn die Bindungsenergien der beteiligten Kerne bekannt sind. Die freigesetzte Energie $\Delta ...
  5. Kernspaltung
    Kernphysik 2 > Anwendung: Nutzung der Kernenergie > Kernspaltung
    Kernspaltung
    ... Ba +  ^{92}_{36} Kr +  3\cdot ^1_0 n$ Berechnung des Energiebetrags $\Delta E$ Laut unserer Besprechung müsste nun ein bestimmter Energiebetrag $\Delta E$ freigesetzt werden. Wir wollen nun auch im Hinblick auf Abituraufgaben zeigen, wie man rechnerisch vorgeht. Wir gehen von der obigen Spaltreaktion aus und errechnen die Energiebilanz $\Delta E$ der Reaktion. $\Delta E=(E(U)+E(n))-(E(Ba)+E(Kr)+3\cdot E(n))$ Zur einfacheren Darstellung wurden die Nuklidangaben $A$ und $Z$ weggelassen. Methode ...
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Physikalische Chemie

  1. Der dritte Hauptsatz der Thermodynamik
    Chemische Thermodynamik > Zustandsgrößen und ihre Regeln > Der dritte Hauptsatz der Thermodynamik
    ... Reaktionsablauf, welcher spontan erfolgt! Die Berechnung der Entropieänderung einer Reaktion, die molare Reaktionsentropie, erfolgt ebenso (analog der Reaktionsenthalpie) aus tabellarischen Werten der molaren Standardentropieabgekürzt mit S0f   nach der Formel: $\triangle_{R}S_{m}^{0}=\sum({\color{Red}Summe  aller  Produktentropien})-\sum({\color{Green}Summe  aller  Eduktentropien})$ Beispiel zur Berechnung: $H_2$ + $½O_2 \rightarrow H_2O$ ${\color{Green}131} \dfrac{J}{mol · K} + ...
  2. Enthalpie
    Chemische Thermodynamik > Zustandsgrößen und ihre Regeln > Enthalpie
    Enthalpie
    ... bei endothermen Reaktionen umgekehrt. Zur Berechnung von Reaktionsenthalpien ΔHR benutzt man tabellarische Werte. Alle diese Werte sind auf Bedingungen bei 25 °C, Normaldruck (1.000 mbar) und auf 1 Mol geeicht. Der Aggregatzustand sollte beim Ablesen des Tabellenwerts beachtet werden. Diese sogenannte molare Standardbildungsenthalpie wird mit ΔH0f abgekürzt. Elemente besitzen dabei immer den Wert 0, Verbindungen weisen spezifische Werte auf. Der Buchstabe „f“ stammt vom englischen ...
  3. Der Satz von Hess
    Chemische Thermodynamik > Zustandsgrößen und ihre Regeln > Enthalpie > Der Satz von Hess
    Der Satz von Hess
    ... bleibt die Enthalpieänderung gleich. Berechnung zum Beispiel: Verbrennung von Kohlenstoff und Kohlenmonoxid: $C + O_2 \rightarrow CO_2     \Delta H_{R1}= -394 \dfrac {kJ}{mol}$ $CO + ½ O_2 \rightarrow CO_2     \Delta H_{R2} = -283 \dfrac {kJ}{mol}$ Da sich bei der Verbrennung von $C$ immer $CO$ und $CO_2$ bildet, ist die Reaktionsenthalpie der Reaktion $C + ½ O_2 \rightarrow CO     \Delta H_{R3} = ?$ nicht direkt messbar. Nach dem Satz von Hess ergibt sie sich jedoch ...
  4. Kinetik: rund um die Reaktionsgeschwindigkeit
    Kinetik: rund um die Reaktionsgeschwindigkeit
    Kinetik: rund um die Reaktionsgeschwindigkeit
    ... Reaktionskinetik: Reaktionstyp Berechnung der Momentangeschwindigkeit Berechnung der Halbwertszeit 0. Ordnung $v=-\dfrac{dc}{dt}=k$ $\tau_{1/2}=\dfrac{c_0}{2\cdot k}$ 1. Ordnung $v=-\dfrac{dc}{dt}=k\cdot c$ $\tau_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{k}$ 2. Ordnung $v=-\dfrac{dc}{dt}=k\cdot c^2$ $\tau_{1/2}=\dfrac{1}{k\cdot c_0}$ Das Video wird geladen ...
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Elektromagnetismus

  1. Grundbegriffe für Wellen
    Schwingungen und Wellen - Grundlagen > Das Phänomen Welle > Grundbegriffe für Wellen
    Grundbegriffe für Wellen
    ... Wellenberge (maximale positive Elongation). Berechnung der Ausbreitungsgeschwindigkeit $v$ Um die Ausbreitungsgeschwindigkeit zu verstehen, gehen wir von folgender Betrachtung aus: (Zur Veranschaulichung kannst Du dir eine Seilwelle vorstellen). Nehmen wir an, dass das Teilchen im Nullpunkt bzw. Erregerzentrum eine volle Schwingung ausführt. Dieser vollen Schwingung entspricht eine Schwingungsdauer $T$. Während dieser Zeit hat sich die Welle dann in unserem Fall nach rechts ausgebreitet. ...
  2. Grundlagen elektromagnetischer Interferenz
    Elektromagnetische Wellen > Eigenschaften elektromagnetischer Wellen > Grundlagen elektromagnetischer Interferenz
    Grundlagen elektromagnetischer Interferenz
    ... (Zwei-Quellen-Interferenz) Messung & Berechnung des Gangunterschiedes $\Delta s$ Eine wichtige Frage in diesem Zusammenhang ist, wie man den Gangunterschied messen oder berechnen kann. Der Gangunterschied ist gerade die Laufstrecken-Differenz der beiden Wellen von den entsprechenden Quellen $Q_1$, $Q_2$ zum Punkt $P$. Wie man diese Differenz berechnen kann, ist in der Zeichnung gezeigt. $\overline{Q_1P}$: Strecke $s_1$ $\overline{Q_2P}$: Strecke $s_2$ $\overline{Q_2Q}$: Gangunterschied ...
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Evolution

  1. Hardy-Weinberg-Gesetz
    synthetische Evolutionsbiologie: das moderne Konzept der Evolutionsbiologie > Variabilität – Herkunft und Nutzen > Hardy-Weinberg-Gesetz
    ... erfassen. Eine Anwendung vom HWG ist die Berechnung des Anteils von heterozygoten Individuen (z.B. bei der Sichelzellanämie die Träger von Aa) bei rezessiven Erbgängen, da heterozygote Organismen von den homozygoten (ohne Sichelzellgen, hier: AA) anhand ihres Phänotyps nicht zu unterscheiden sind. Die Zahlenwerte geben die Phänotypen wieder, Vorsicht, nicht Allele! Das HWG sagt aus, dass die Allelfrequenz in einer idealen Population konstant bleibt. Die relativen Häufigkeiten des ...
  2. Abituraufgabe
    synthetische Evolutionsbiologie: das moderne Konzept der Evolutionsbiologie > Variabilität – Herkunft und Nutzen > Abituraufgabe
    ... erfassen. Eine Anwendung vom HWG ist die Berechnung des Anteils von heterozygoten Individuen (z.B. bei der Sichelzellanämie die Träger von Aa) bei rezessiven Erbgängen, da heterozygote Organismen von den homozygoten (ohne Sichelzellgen, hier: AA) anhand ihres Phänotyps nicht zu unterscheiden sind. Die Zahlenwerte geben die Phänotypen wieder, Vorsicht, nicht Allele! Das HWG sagt aus, dass die Allelfrequenz in einer idealen Population konstant bleibt. Die relativen Häufigkeiten des ...
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Ökologie

  1. Saprobienindex
    aquatische Ökosysteme > Fließgewässer > Selbstreinigung > Gewässergüte > Saprobienindex
    ... für die jeweilige Wassergüte. Berechnung Nun liegt ein großer Protokollbogen vor, auf dem notiert ist, welche Organismen in welcher Anzahl in dem geprüften Gewässer vorkommen. Die Literatur hält zwei verschiedene Berechnungsarten zur Ermittlung des Saprobienindex bereit: nach Baur (vereinfachte Berechnung) nach Zelinka und Mervan Berechnung nach Baur Jeder gefundene Organismus muss in der Literatur einem bestimmten Saprobienwert zugeordnet werden. Dieser Wert spiegelt ...
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Neurobiologie

  1. Alltagsdroge Alkohol
    Nervensystem - bei Wirbellosen und Wirbeltieren > Erkrankungen des Nervensystem > Einfluss von Medikamenten > Einfluss von Drogen > Alltagsdroge Alkohol
    ... Die Anteile des Körperwassers werden bei Berechnungen immer mit einbezogen! Dieser Wert entspricht der Körperwasserkonstanten (0,68 für Männer, 0,55 für Frauen) Der Einfluß des Alkohols ist schnell feststellbar: Sehleistung lässt nach Sprechen fällt schwer Denken in Zusammenhängen ist nicht mehr möglich Koordination lässt nach (gehen, stehen, schreiben) Kontrolle der Körperfunktionen nicht mehr vorhanden... Was sind Promille? Die Alkoholkonzentration, die ein Mensch ...
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Relativitätstheorie

  1. Relativistische Energie
    Relativistische Dynamik > Relativistische Messgrößen > Relativistische Energie
    ... des Integrals Das Problem besteht jetzt in der Berechnung des Integrals $\int_{0}^{u}v(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{3}{2}}\,dv$. Definieren wir die Funktion $f(v)$ als $f(v)=v(1-(\frac{v}{c})^2)^{-\frac{3}{2}}$. Laut Differential- und Integralrechnung muss man zunächst die Stammfunktion $F(v)$ des (unbestimmten) Integrals $\int f(v)\,dv$ finden. Nach dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besteht zwischen $f(v)$ und $F(v)$ folgender Zusammenhang $F^{'}(v)=\frac{dF(v)}{dv}=f(v)$. Wer ...
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Quanteneffekte & Struktur der Materie

  1. Photostromstärke
    Welle-Teilchen-Dualismus > Photoeffekt - Die Gegenfeldmethode - quantitative Analyse > Das Photonmodell > Photostromstärke
    ... wie kann man nun den Photostrom berechnen? Berechnung des Photostroms Definition-Stromstärke des Photostroms Die Stromstärke $I_{PS}$ des Photostroms ergibt sich aus der herausgelösten Ladung $Q$, die innerhalb einer Zeiteinheit $t$ durch den Stromkreis der Photozelle geflossen sind. $I_{PS}$: Stromstärke des Photostroms $N (e^{-})$: Anzahl der herausgelösten Elektronen $e$: Elementarladung (Ladung des Elektrons) $I_{PS}=\frac{Q}{t}=\frac{N(e^{-})\cdot e}{t}$ Ausbeute Nun ist ...
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