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Die perfekte Abiturvorbereitung
in Mathematik

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Wendepunkte komplexe e-Funktion

Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen / Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen / komplexe e-Funktion

Wendepunkte

a) x-Werte berechnen

Bedingung: f´´(x)=0

f(x)=
f´(x)=               

Berechnung der 2. Ableitung mit der Produkt- und Kettelregel
f´´(x)=+

f´´(x)=+

f´´(x)=

f´´(x)=

Nullsetzen der 2. Ableitung und nach x auflösen

0=

da niemals 0 werden kann,
müssen wir nur die Nullstellen von berechnen.

0=   / x ausklammern

0=

xW1=0

0=

Das ist eine biquadratische Funktion, d.h. hier musst du x² mit z substituieren, d.h. x² als z ersetzen.

0=-48z²+84z-18

Jetzt haben wir eine quadratische Gleichung. Um die p-q-Formel anwenden zu können, muss die Gleichung in Normalform gebracht werden.

0=-48z²+84z-18     / : -48

0=z²-1,75z+0,375     jetzt können wir die p-q-Formel anwenden

p=-1,75   q=0,375         Bestimmen von p und q (Vorzeichen nicht vergessen!)
=-
=0,875
=0,875
=0,875 0,625
=1,5
=0,25

Jetzt müssen wir z wieder durch x² ersetzen (resubstituieren) und dann die Gleichung auflösen.

=1,5
xW2==1,22  
xW3=-=-1,22

=0,25

xW4==0,5 
xW5=-=-0,5

b) y-Werte berechnen

Einsetzen der Extremstellen in die Ausgangsfunktion

yW1=f(xW1)=f(0)= =
yW1=0

yW2=f(xW2)=f()= =-0,75
yW2=-0,75

yW3=f(xE3)=f()= =0,75
yW3=0,75

yW4=f(xW2)=f()= =-0,62
yW4=-0,62

yW5=f(xE3)=f()= =0,62
yW5=0,62

c) Überprüfung auf LR- bzw. RL-Wendepunkte mit der 3. Ableitung

f´(x)=

f´´(x)=

Berechnung der 3. Ableitung mit der Produkt- und Kettelregel
f´´´(x)=+

f´´´(x)=+

f´´´(x)=

f´´´(x)=

Einsetzen der Wendestellen in die 3. Ableitung

f´´´(0)=
f´´´(0)=-18 < 0 -> Links-Rechts-Sattelpunkt, da auch f´(0)= 0 ist.

f´´´(1,22)=
f´´´(1,22)=-24,75 < 0  -> Links-Rechts-Wendepunkt

f´´´(-1,22)=
f´´´(-1,22)=-24,75 Links-Rechts-Wendepunkt

f´´´(0,5)=
f´´´(0,5)=49,46 > 0 -> Rechts-Links-Wendepunkt

f´´´(-0,5)=
f´´´(-0,5)=49,46 > 0 -> Rechts-Links-Wendepunkt

Ergebnis:     W1          L-R-SP (0/0)
                     W2         L-R-WP (1,22/-0,75)
                     W3         L-R-WP (-1,22/0,75) 
                     W4         R-L-WP  (0,5/-0,62)
                     W5         R-L-WP  (-0,5/0,62)

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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Grundlagen der Analysis (Analysis 1) zum Kurs
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Einleitung Analysis I
    • Einleitung zu Einleitung Analysis I
  • Verständnis der Ableitung
    • Einleitung zu Verständnis der Ableitung
    • Was ist die Ableitung?
    • Die graphische Ableitung
      • Einleitung zu Die graphische Ableitung
      • Punkte mit waagerechter Tangente
        • Einleitung zu Punkte mit waagerechter Tangente
        • Extrempunkte graphisch
        • Sattelpunkte
      • Wendepunkte graphisch
        • Einleitung zu Wendepunkte graphisch
        • Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
        • Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
      • Vergleich der Wendepunkte
      • Graphen ableiten
  • Ableiten
    • Einleitung zu Ableiten
    • Ableitungsregeln
      • Einleitung zu Ableitungsregeln
      • Potenzregel
      • Faktorregel
      • Summenregel
      • Produktregel
      • Quotientenregel
      • Kettenregel
      • Komplexe Funktionen ableiten
      • Sinus, Cosinus, e-Funktion und Logarithmus ableiten
    • Kurvenscharen ableiten
    • Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
  • Grundaufgaben der Analysis
    • Einleitung zu Grundaufgaben der Analysis
    • y-Wert berechnen
    • x-Wert berechnen
    • Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
    • Punkt zu einer gegebenen Steigung berechnen
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
    • Schnittpunkte mit den Achsen
      • Einleitung zu Schnittpunkte mit den Achsen
      • y-Achsenabschnitt
      • Nullstellen
      • Klassifizierung der Nullstellen
    • Extrempunkte
      • Einleitung zu Extrempunkte
      • Bedingungen für Extrempunkte
      • Berechnung der Extrempunkte
    • Wendepunkte
      • Einleitung zu Wendepunkte
      • Bedingungen für Wendepunkte
      • Berechnung von Wendepunkten
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Globalverhalten
    • Wertebereich
    • Monotonie
    • Graph
    • Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    • Funktionsuntersuchung im Abitur
  • Einführung in die Integralrechnung
    • Einleitung zu Einführung in die Integralrechnung
    • Von der Summe zum Integral
    • Die Stammfunktion und das unbestimmte Integral
    • Integrationsregeln
      • Einleitung zu Integrationsregeln
      • Potenzregel der Integration
      • lineare Substitution
    • Der Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechung
    • Das bestimmte Integral
  • Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • Einleitung zu Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • graphisches Integrieren
    • Flächenberechnung
      • Einleitung zu Flächenberechnung
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      • Fläche zwischen Graph und x-Achse
      • Fläche zwischen zwei Graphen
    • Die Integralrechung im Abitur
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    • Besonderheiten von Kurvenscharen
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      • Einleitung zu Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung
      • kubische Funktionenschar
        • Einleitung zu kubische Funktionenschar
        • Definitionsbereich und Symmetrie kubische Schar
        • Schnittpunkte mit den Achsen kubische Schar
        • Extrempunkte kubische Schar
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        • Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie kubische Schar
        • Graph kubische Schar
        • Ortslinie der Extrempunkte
  • Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung von e-Funktionen und Scharen
    • Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
      • Einleitung zu Besonderheiten einer Funktionsuntersuchung von e-Funktionen
      • Ableitung der e-Funktion
      • Asymptoten
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      • Einleitung zu Beispiele von Funktionsuntersuchungen von e-Funktionen
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      • komplexe e-Funktion
        • Einleitung zu komplexe e-Funktion
        • Definitionsbereich und Symmetrie komplexe e-Funktion
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    • Beispiel einer Funktionsuntersuchung einer e-Schar
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      • Definitionsbereich, Symmetrie, Schnittpunkte mit den Achsen e-Schar
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      • Globalverhalten, Wertebereich, Monotonie e-Funktionenschar
      • Graph komplexe e-Funktionenschar
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