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Extrempunkte kubische Schar

Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen / Beispiele einer kompletten Kurvenscharfunktionsuntersuchung / kubische Funktionenschar

Extrempunkte

Berechnung der Extrempunkte der Beispielfunktion ft(x)=-2tx³+3t²x

a) x-Werte berechnen

Bedingung: f´(x)=0
                 f´(x)=-6tx²+3t²
                 0=-6tx²+3t², nach x² umstellen
                 0=-6tx²+3t²       /+6tx²
                6tx²=3t²              /: 6t  (nur möglich wenn t nicht 0)
                 x²= t   /
               xE1,E2=
Diese zwei Ergebnisse sind nur sinnvoll, wenn , da sonst unter der Wurzel eine negative Zahl steht und es dann keine Lösung gibt. t=0 ist auch nicht erlaubt, da wir sonst nicht durch 6t hätten teilen dürfen.

Ergebnis: xE1==0,71   für t >0     xE2=-=-0,71  für t >0

Aus dem Ergebnis ist ersichtlich, dass der Betrag der Extremstellen größer wird, wenn t größer wird, d.h. das die Extremstellen auseinander wandern.

b) y-Werte berechnen

yE1-Wert

yE1=f(xE1)=f()=-2t)³+3t²)

Dieser Term muss jetzt noch zusammengefasst werden. Am einfachsten ist es ersteinmal die reinen Zahlen und die Werte mit t zu trennen. Um die t´s dann zusammenfassen zu können, schreiben wir diese in der Potenzschreibweise.
yE1=-2t+3t²

Jetzt können wir die t´s und die Zahlen zusammenfassen.
yE1=-+

In beiden Termen steht jetzt , so dass wir genau das ausklammern können.
yE1=

Die Terme in der Klammer sind nur Zahlen, die wir auch wieder zusammenfassen können.
yE1=
yE1=
yE1==

Jetzt können wir wieder als Wurzel schreiben und mit der Zahl zusammenfassen:
Ergebnis:    yE1=

yE2-Wert

yE2 geht genauso:

yE2=f(xE2)=f(-)=-2t)³+3t²)

Dieser Term muss jetzt noch zusammengefasst werden. Am einfachsten ist es ersteinmal die reinen Zahlen und die Werte mit t zu trennen. Um die t´s dann zusammenfassen zu können, schreiben wir diese in der Potenzschreibweise. Aus (-)³ wird - mit dem - vorn ergibt sich +, aus dem + hinten wird -.
yE2=+2t-3t²

Jetzt können wir die t´s und die Zahlen zusammenfassen.
yE2=+-

In beiden Termen steht jetzt , so dass wir genau das ausklammern können.
yE2=

Die Terme in der Klammer sind nur Zahlen, die wir auch wieder zusammenfassen können.
yE2=
yE2=
yE2==-

Jetzt können wir wieder als Wurzel schreiben und mit der Zahl zusammenfassen:
Ergebnis:   yE1=-

c) Überprüfung auf Hoch- und Tiefpunkte mit der 2. Ableitung

Berechnen der 2. Ableitung

f´(x)=-6tx²+3t²
f´´(x)=-12tx

Einsetzen des xE1- und xE2-Wertes in die 2. Ableitung

f´´()=-12t

f´´(-)=+12t

Die 2. Ableitungen sind nur definiert, wenn t 0 ist. t=0 ist auch schon ausgeschlossen, da wir sonst bei a nicht durch t hätten dividieren dürfen.

Das bedeutet, das es nur für t>0 Extrempunkte gibt. Die Art der Extrempunkte ergibt sich aus dem Wert der 2. Ableitung für t>0.

f´´()=-12t   Hochpunkt

f´´(-)=+12t  >0  -> Tiefpunkt

Ergebnisse

HP ( / ) für t > 0

TP ( - / - )  für t > 0

Dieser Inhalt ist Bestandteil des Online-Kurses

Grundlagen der Analysis (Analysis 1)

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Grundlagen der Analysis (Analysis 1) zum Kurs
Diese Themen werden im Kurs behandelt:

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  • Einleitung Analysis I
    • Einleitung zu Einleitung Analysis I
  • Verständnis der Ableitung
    • Einleitung zu Verständnis der Ableitung
    • Was ist die Ableitung?
    • Die graphische Ableitung
      • Einleitung zu Die graphische Ableitung
      • Punkte mit waagerechter Tangente
        • Einleitung zu Punkte mit waagerechter Tangente
        • Extrempunkte graphisch
        • Sattelpunkte
      • Wendepunkte graphisch
        • Einleitung zu Wendepunkte graphisch
        • Rechts-Links-Wendepunkt graphisch ableiten
        • Links-Rechts-Wendepunkt graphisch ableiten
      • Vergleich der Wendepunkte
      • Graphen ableiten
  • Ableiten
    • Einleitung zu Ableiten
    • Ableitungsregeln
      • Einleitung zu Ableitungsregeln
      • Potenzregel
      • Faktorregel
      • Summenregel
      • Produktregel
      • Quotientenregel
      • Kettenregel
      • Komplexe Funktionen ableiten
      • Sinus, Cosinus, e-Funktion und Logarithmus ableiten
    • Kurvenscharen ableiten
    • Die Ableitung im Abitur - Ableitungen graphisch bestimmen
  • Grundaufgaben der Analysis
    • Einleitung zu Grundaufgaben der Analysis
    • y-Wert berechnen
    • x-Wert berechnen
    • Steigung berechnen bei gegebenen x-Wert
    • Punkt zu einer gegebenen Steigung berechnen
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 1
    • Definitionsbereich
    • Symmetrie
    • Schnittpunkte mit den Achsen
      • Einleitung zu Schnittpunkte mit den Achsen
      • y-Achsenabschnitt
      • Nullstellen
      • Klassifizierung der Nullstellen
    • Extrempunkte
      • Einleitung zu Extrempunkte
      • Bedingungen für Extrempunkte
      • Berechnung der Extrempunkte
    • Wendepunkte
      • Einleitung zu Wendepunkte
      • Bedingungen für Wendepunkte
      • Berechnung von Wendepunkten
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Einleitung zu Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2
    • Globalverhalten
    • Wertebereich
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    • Graph
    • Funktionsuntersuchung einer quadratischen Funktion
    • Funktionsuntersuchung im Abitur
  • Einführung in die Integralrechnung
    • Einleitung zu Einführung in die Integralrechnung
    • Von der Summe zum Integral
    • Die Stammfunktion und das unbestimmte Integral
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      • lineare Substitution
    • Der Hauptsatz der Integral- und Differenzialrechung
    • Das bestimmte Integral
  • Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • Einleitung zu Integralrechnung - graphisches Integrieren
    • graphisches Integrieren
    • Flächenberechnung
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    • Die Integralrechung im Abitur
  • Funktionsuntersuchung ganzrationaler Kurvenscharen
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