Warum bildet man Ableitungen? - Der Sachzusammenhang
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In diesem Lerntext beschäftigen wir uns mit den Ableitungen von Funktionen. Dazu beantworten wir zunächst die Frage, was genau die Bedeutung einer solchen Ableitung ist. Wie die verschiedenen Ableitungen einer Funktion in der Mathematik aussehen können, haben wir dir hier einmal dargestellt.
Merke
Welche Bedeutung haben Ableitungen?
Bei der Kurvendiskussion und in vielen anderen Aufgaben wird nach der ersten, zweiten und manchmal auch nach der dritten Ableitung gefragt. Doch welche Bedeutung haben diese Ableitungen überhaupt?
Hinweis
Ein bekanntes Beispiel ist die Funktion, die den Weg in Abhängigkeit zur Zeit abbildet. Deren Ableitung, also die Steigung der Funktion, ist die Geschwindigkeit in Abhängigkeit zur Zeit. Wird die Funktion der Geschwindigkeit dann wieder abgeleitet, erhalten wir die Funktion, die die Beschleunigung in Abhängigkeit zur Zeit abbildet.
Funktion
Weg
Schauen wir uns zunächst die Bedeutung der ersten Ableitung genauer an:
Welche Bedeutung hat die erste Ableitung?
Die Ableitung einer Funktion bildet die Steigung der Funktion in einer weiteren Funktion ab. Um dies zu verdeutlichen, schauen wir uns zwei Beispiele an. Beginnen wir mit einem einfachen Beispiel: Die lineare Funktion
Bei quadratischen Funktionen wird es schon etwas schwieriger, da hier die Steigung in jedem Punkt unterschiedlich ist. Die Normalparabel hat die Funktion
Wir sehen die Funktion in grün und deren Ableitung in rot. Also beschreibt die rote Funktion die Steigung der grünen Funktion in jedem Punkt. Nehmen wir den Punkt
Betrachten wir einen weiteren Punkt:
Diese Steigung können wir am roten Ableitungsgraphen ablesen. Er hat den Punkt
Da die Ableitung Informationen über die Steigung liefert, können damit folgende Dinge bestimmt werden:
- Ist
dann ist an der Stelle waagerecht. - Ist
dann ist an der Stelle steigend. - Ist
dann ist an der Stelle fallend.
Ableitungen bestimmen - Wie berechnet man Hochpunkt, Tiefpunkt und Sattelpunkt?
An der Stelle, wo der Graph waagerecht (
Methode
Vorgehensweise Hochpunkt, Tiefpunkt oder Sattelpunkt bestimmen:
- Die erste und zweite Ableitung der Funktion bestimmen.
- Die erste Ableitung gleich null setzten und die Lösungen für
bestimmen. - Die zuvor errechneten Werte in die dritte Ableitung einsetzten, für das jeweilige Ergebnis gilt:
Hochpunkt Tiefpunkt Sattelpunkt
Sechs Ableitungsregeln der Mathematik
Hier erhältst du eine Übersicht über die gängigen Ableitungsregeln. Möchtest du darüber mehr erfahren, klicke hier: Ableitungsregeln
Hinweis
- Potenzregel:
- Faktorregel:
- Summenregel:
- Produktregel:
- Kettenregel:
- Quotientenregel:
Welche Bedeutung hat die zweite Ableitung?
Die zweite Ableitung bildet die Steigung der ersten Ableitung ab. Wir bestimmen sie, indem wir die Funktion der ersten Ableitung ableiten. Für die beiden oberen Beispiele bedeutet dies:
lineare Funktion:
quadratische Funktion
Mit den Übungsaufgaben kannst du dein Wissen über die Bedeutung von Ableitungen im Sachzusammenhang weiter vertiefen. Viel Erfolg dabei!
Video: Fabian Serwitzki
Text: Chantal Rölle
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