Mit der Summenregel Ableitungen von Funktionen bilden
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Für dieses Kapitel ist die Potenzregel, also das einfache Ableiten, eine Grundvoraussetzung. Wenn du dir nicht mehr sicher bist, ob du die Potenzregel kennst und anwenden kannst, schau noch einmal auf unserer Seite über die Potenzregel nach.
Die Summenregel - Ableitung von komplexen Funktionen bilden
Die Summenregel ist eine der wichtigsten Ableitungsregeln. Denn häufig treffen wir auf komplexe Funktionen mit mehreren Summanden, wie etwa
Wir widmen uns nun zunächst der etwas theoretischen Herleitung der Summenregel und dann der eigentlich relativ einfachen Anwendung der Summenregel.
Die Summenregel - Herleitung aus der Potenzregel
Wir nutzen die allgemeine Ableitungsregel, mehr dazu im Kapitel Potenzregel:
Wir haben aber nicht nur
Wir ersetzen also auch in der Ableitungsformel jedes
Wenn wir jetzt die
Wir erkennen, dass der Ausdruck nun sehr ähnlich der Ausgangsfunktion ist. Wenn wir noch einen Schritt weiter gehen und die Funktionsteile auf zwei Brüche schreiben, fällt uns auf, dass die Funktionsteile einzeln abgeleitet werden können:
Die Funktionen können einzeln nach der Potenzregel abgeleitet werden. Die Ableitung nach der Summenregel ist also nichts anderes als die Ableitung der einzelnen Summanden nach der Potenzregel.
Merke
Die Summenregel besagt:
Die Ableitung einer Funktion
Summenregel anwenden - Beispiel
Schauen wir uns die Regel einmal an einem Zahlenbeispiel an. Wir haben die Funktion
Regel:
Also ist die Ableitung der Funktion
vereinfacht:
Wir haben also die Ableitung gebildet, indem wir die zwei Summanden separat abgeleitet haben (jeweils nach der Potenzregel).
Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen!
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