Drei Asymptoten-Arten - Eigenschaften einfach erklärt
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Merke
Man unterscheidet drei verschiedene Arten von Asymptoten:
- senkrechte Asymptote
- waagerechte Asymptote
- schiefe Asymptote
Was sind Asymptoten? - Definition
Laut Definition sind Asymptoten Funktionen, denen sich der Graph einer anderen Funktion annähert. Dabei behandeln wir hier Asymptoten, die Geraden sind, also lineare Funktionen. Der Graph einer Funktion kommt der Asymptote immer näher, schneidet oder berührt die Asymptote aber nie. Die Abbildung verdeutlicht dies:
Wir sehen, dass sich die Funktion für immer größer werdende x-Werte der Asymptote annähert.
Asymptoten können allgemein für jeden Grenzwert gesucht werden. Bei rationalen Funktionen sind die Grenzwerte
Wir werden im Folgenden die jeweilige Asymptotenart erklären und Beispiele geben.
Welche Eigenschaften hat eine senkrechte Asymptote?
Eine senkrechte, oder auch vertikale Asymptote genannt, liegt senkrecht im Koordinatensystem. Sie verläuft von oben nach unten. Das bedeutet, dass die Funktionswerte immer größer oder kleiner werden.
Bei der Definitionslücke einer gebrochenrationalen Funktion liegt immer eine senkrechte Asymptote vor:
Beispiel
Bei der Funktion, die wir im oberen Beispiel betrachtet haben, kann eine weitere Asymptote an den Graph der Funktion gelegt werden. Diese ist senkrecht und befindet sich an der Definitionslücke, an welcher die Funktion nicht definiert ist.
Die Funktion ist für
Schauen wir uns den Grenzwert für x-Werte an, die nah an
Je näher der x-Wert an
So sieht die eingezeichnete Asymptote
Welche Eigenschaften hat eine waagerechte Asymptote?
Eine waagerechte Asymptote liegt waagerecht im Koordinatensystem. Sie verläuft von links nach rechts. Die Funktion kann für immer größere oder kleinere x-Werte gegen
Gilt
Beispiel
Bilden wir den Grenzwert der Funktion:
Die Funktion hat eine Asymptote, die die Gleichung
Welche Eigenschaften hat eine schiefe Asymptote?
Eine schiefe Asymptote liegt schief im Koordinatensystem. Das bedeutet, dass sie die Gleichung einer linearen Funktion mit einer definierten Steigung, die nicht gleich
Beispiel
Behandeln wir dazu nochmal die Funktion aus dem ersten Beispiel:
Die Steigung der Asymptotengerade ist
Mit den Übungsaufgaben zu Asymptoten kannst du dein Wissen vertiefen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
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