Kurvendiskussion durchführen - Beispiel mit Lösungsweg

In diesem Text schauen wir uns ein Beispiel einer typischen Kurvendiskussion an. Wir gehen mit dir Schritt für Schritt die zu bearbeitenden Punkte durch. 

Gerne kannst du dir vorher nochmal eine Übersicht über die Kurvendiskussion verschaffen. Im Folgenden haben wir dir nochmal eine Übersicht der Schritte einer Kurvendiskussion aufgeführt:

7 Schritte der Kurvendiskussion - Überblick

Kurvendiskussion - Beispeilaufgabe lösen

In unserem Beispiel zur Kurvendiskussion wird die Funktion behandelt.

1. Definitionsmenge bestimmen

Die Definitionsmenge der obigen Aufgabe zur Kurvendiskussion besteht aus allen Zahlen, die für die Variable eingesetzt werden dürfen.

Welche Werte dürfen für eingesetzt werden? Es darf jede beliebige Zahl eingesetzt werden.

Der Definitionsbereich besteht aus reellen Zahlen.

2. Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen berechnen

1. Nullstellen 

Um die Nullstellen der Funktion zu berechnen, müssen wir den Funktionsterm gleich null setzen.

Anschließend verwenden wir die p-q-Formel, um die Nullstellen zu berechnen:

und

Die Funktion schneidet die x-Achse an den Stellen und .

2. Schnittpunkte mit der y-Achse

Um den Schnittpunkt mit der y-Achse zu berechnen, müssen wir einsetzen.

Die Funktion schneidet die y-Achse an der Stelle .

3. Symmetrieverhalten bestimmen

Der folgende Schritt in unserem Beispiel behandelt in der Kurvendiskussion die Symmetrie von Funktionen. Die Symmetrie innerhalb einer Kurvendiskussion lässt sich ohne großen Rechenaufwand bestimmen.

Achsensymmetrisch:

Die Funktion ist nicht achsensymmetrisch.

Punktsymmetrisch:

Die Funktion ist auch nicht punktsymmetrisch.

4. Verhalten im Unendlichen

Je größer wird, desto größer wird die Funktion. Das bedeutet, dass die Funktion gegen positiv unendlich läuft.

Je kleiner wird, desto größer wird der Funktionswert.

5. Monotonie und Extremwerte bestimmen

Um einen Extrempunkt zu bestimmen, müssen wir die erste Ableitung bilden und diese gleich null setzen.

An dem x-Wert befindet sich ein Extrempunkt. Um zu bestimmen, ob dies ein Hoch- oder ein Tiefpunkt ist, muss die zweite Ableitung gebildet werden:

Nun muss der x-Wert eingesetzt werden.

Tiefpunkt.

Nun muss noch der dazugehörige Funktionswert ermittelt werden:

An dem Punkt befindet sich ein Tiefpunkt.

Damit ist die Funktion vor dem Tiefpunkt monoton fallend und nach ihm monoton steigend:

x>1,5 \rightarrow f(x) -0,25$ sind, nicht im Wertebereich liegen.

Als letztes wird der Graph skizziert:

Nun haben wir dir die komplette Kurvendiskussion anhand eines Beispiels gezeigt. Teste dein neu erlerntes Wissen zum Thema Kurvendiskussion online mit unseren Übungsaufgaben. Viel Erfolg dabei!

Video: Fabian Serwitzki

Text: Chantal Rölle