Wie löst man Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung?
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Bei Extremwertaufgaben, auch Optimierungsaufgaben oder Extremwertprobleme genannt, wird, wie der Name schon sagt, nach einem Extrempunkt gesucht. Ein Extrempunkt ist ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt. So kann zum Beispiel nach der größtmöglichen Fläche, die mit einem Stück Zaun eingezäunt werden kann, gefragt werden. Die Schwierigkeit bei solchen Aufgaben ist es, die passende Funktion zu bilden. Wenn du das geschafft hast, ist es ganz einfach.
Wir schauen uns nun die Vorgehensweise einmal genauer an.
Das Lösen von Extremwertaufgaben - Die Vorgehensweise
Als erstes liest du dir die Aufgabe genau durch und fertigst eine Skizze an. Danach gehst du folgendermaßen vor:
Methode
1. Hauptbedingung bestimmen:
Bilde zu dem Sachverhalt, der maximiert oder minimiert werden soll, die passende Funktion.
2. Nebenbedingung aufstellen:
Die gegebene Nebenbedingung muss auch in mathematischer Schreibweise notiert werden. Die Nebenbedingung ist immer eine Gleichung. In dieser Gleichung stehen vorerst immer zwei unterschiedliche Variablen, also z. B.
3. Nebenbedingung umformen:
Forme die Nebenbedingung so um, dass eine der beiden Variablen alleine auf einer Seite der Gleichung steht.
4. Nebenbedingung in Hauptbedingung einsetzen:
Nun setzen wir die umgeformte Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. Wir erhalten so die Zielfunktion. In der Zielfunktion kommt nur noch eine Variable vor.
5. Extremwert berechnen:
Bei einer quadratischen Funktion ist der Extremwert immer der Scheitelpunkt. Diesen Punkt können wir am einfachsten mithilfe der 1. Ableitung bestimmen. Eine andere Möglichkeit ist die quadratische Ergänzung.
6. Zweite Variable bestimmen:
Nachdem eine Variable bestimmt ist, können wir die zweite Variable ausrechnen, indem wir die bekannte Variable in die umgestellte Nebenbedingung einsetzen.
Abschließend muss nur noch die Lösung notiert werden.
Dies sieht zunächst sehr kompliziert aus. Schauen wir uns eine Extremwertaufgabe als Beispiel an, um es etwas einfacher zu machen.
Das Lösen von Extremwertaufgaben - Beispiel
Wie groß ist die größte rechteckige Fläche, die man mit einem 20 m langen Zaun einzäunen kann?
Zuerst machen wir uns eine Skizze:
Die Fläche soll maximiert werden und der Umfang muss
Vorgehensweise:
1. Hauptbedingung bestimmen
Bilde zu dem Sachverhalt, der maximiert oder minimiert werden soll, die passende Funktion.
Die Fläche soll maximiert werden. Also müssen wir hierzu die Funktion aufschreiben.
Die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks lautet:
2. Nebenbedingung aufstellen
Nun muss die Nebenbedingung auch in mathematischer Schreibweise notiert werden.
Unsere Nebenbedingung in dieser Aufgabe ist, dass der Zaun eine Länge von
Die Formel für den Umfang eines Rechtecks lautet:
Der Umfang muss
3. Nebenbedingung umformen
Forme die Nebenbedingung so um, dass eine Variable alleine auf einer Seite der Gleichung steht.
Die Nebenbedingung können wir entweder nach
4. Variable in Zielfunktion einsetzen
Nun setzen wir die umgeformte Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein. Wir erhalten so die Zielfunktion. In der Zielfunktion kommt nur noch eine Variable vor.
Die Hauptbedingung lautet:
Wir ersetzen nun
5. Extremwert berechnen
Bei einer quadratischen Funktion ist der Extremwert immer der Scheitelpunkt. Diesen Punkt können wir am einfachsten mithilfe der 1. Ableitung bestimmen. Eine andere Möglichkeit ist die quadratische Ergänzung.
Wir werden hier die quadratische Ergänzung anwenden. Klicke auf den Link, falls du dir die quadratische Ergänzung noch einmal anschauen möchtest.
Als erstes müssen wir den Faktor, der vor dem
Nun muss die Zahl, die vor dem b steht (hier:
Der negative Wert, der nicht für die binomische Formel benötigt wird, muss ausgeklammert werden:
Jetzt können wir die binomische Formel anwenden:
Abschließend können wir nun den Scheitelpunkt ablesen:
Merke
Scheitelpunkt: S
Wenn
6. Zweite Variable bestimmen
Nachdem die erste Variable bestimmt ist, können wir die zweite Variable mithilfe der umgestellten Nebenbedingung ganz einfach berechnen.
Das Ergebnis können wir überprüfen, indem wir
Dies stimmt mit unserem Scheitelpunkt überein.
Lösung: Wenn man mit einem
Teste dein neu erworbenes Wissen zu Extremwertaufgaben mit Nebenbedingung an unseren Übungen. Wir wünschen Dir dabei viel Spaß und Erfolg!
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