Mitternachtsformel - Nullstellen von Funktionen berechnen
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Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu bestimmen. Eine davon ist die Mitternachtsformel - Sie wird auch abc-Formel genannt.
Was ist die Mitternachtsformel? - Definition
Merke
Bestimmung von
Wir müssen, wie bei der p-q-Formel auch, für die Mitternachtsformel Werte ablesen und diese dann in die Formel einsetzen und ausrechnen. Wie dir wahrscheinlich auffällt, ähnelt die Mitternachtsformel der p-q-Formel sehr stark. Sie leitet sich sogar daraus ab.
Wir schauen uns zunächst ein Beispiel an:
Beispiel
Erst müssen wir die Gleichung so umstellen, dass der y-Wert null ist.
Nun können wir die a,b,c-Werte ablesen:
Diese setzen wir jetzt in die Formel ein:
Dies müssen wir jetzt nur noch ausrechnen:
Also sind unsere zwei Nullstellen
Mitternachtsformel und p-q-Formel - Unterschied
Hätten wir diese Gleichung von oben mit der p-q-Formel bearbeitet, so hätten wir am Anfang alles durch 0,25 teilen müssen und wären dann auf das gleiche Ergebnis gekommen.
Du kannst dir selbst aussuchen, welche Form dir besser liegt.
Die Mitternachtsformel ist in der Hinsicht einfacher, dass nicht so viele kleine Brüche entstehen können. Bei der p-q-Formel teilst du durch den Faktor vor dem
Dabei entstehen beim Einsetzen und Ausrechnen jedoch schneller Fehler, da die abc-Formel etwas komplizierter ist.
Am Besten probierst du beide Formeln einmal aus und entscheidest dann, mit welcher du besser rechnen kannst.
Nullstellen mit der Mitternachtsformel berechnen - Beispiel
Die Funktion
Zunächst müssen wir die Formel sowohl für die Mitternachtsformel als auch für die p-q-Formel umformen. Die Gleichung ist in der Scheitelpunktform angegeben, aber wir benötigen die Normalform um
Umformung der Scheitelpunktform in die Normalform
Nun haben wir unsere Normalform gegeben und können hiermit weiter rechnen.
Berechnung der Nullstellen mit der Mitternachtsformel
Wir lesen zuerst
Jetzt setzen wir die Werte in die Formel ein.
Also sind unsere zwei Nullstellen
Berechnung der Nullstellen mit der p-q-Formel
Zuerst müssen wir durch den Faktor, der vor dem
Nun können wir
Jetzt setzen wir die Werte in die Formel ein.
Und natürlich sind die Nullstellen die gleichen
Die Funktion sieht dann folgendermaßen aus:
Wir können die zwei Nullstellen (
Jetzt kannst du Nullstellen mit der Mitternachtsformel und auch mit der pq-Formel errechnen. Teste dein neues Wissen mit unseren Übungen!
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