Wie berechne ich Nullstellen mit der p-q-Formel?
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Bei vielen Aufgaben, die dir zum Thema quadratische Gleichungen gestellt werden, sollst du die Nullstellen berechnen.
Suchst du jetzt einen Nullstellenrechner? Du willst ganz bequem mit einem pq-Formel-Rechner online deine Matheaufgabe lösen? Dann bist du hier leider falsch. Wir erklären dir aber dafür in wenigen Schritten, wie du ganz ohne Online-Rechner Nullstellen mit der p-q-Formel berechnest. Werde jetzt Profi in der Nullstellenberechnung!
Nullstellen - Defenition
Nullstellen sind diejenigen x-Werte, die eingesetzt in die Funktionsgleichung
Merke
Im Falle der quadratischen Funktion sind dies genau die Stellen, an der der Graph die x-Achse schneidet. Der Wert der y-Koordinate muss also
Hinweis
In Bezug auf die Anzahl der Nullstellen gibt es drei verschiedene Möglichkeiten:
- Zwei Nullstellen
- Eine Nullstelle
- Keine Nullstelle
Im Folgenden beschäftigen wir uns mit diesen drei verschiedenen Möglichkeiten und bestimmen die jeweiligen Nullstellen mithilfe der p-q-Formel.
Quadratische Funktionen mit zwei Nullstellen
Unser wichtigstes Werkzeug, um die Nullstellen bestimmen zu können, ist die p-q-Formel, die du wahrscheinlich schon beim Lösen quadratischer Gleichungen eingesetzt hast. Mithilfe dieser Formel lassen sich quadratische Gleichungen, die in der Normalform stehen, durch direktes Einsetzen lösen.
Merke
p-q-Formel
Bestimmung von p und von q:
Wichtig ist dabei, dass der Faktor vor dem
Beispiel
1. Quadratische Gleichung umformen
Zuerst müssen wir durch 3 teilen, damit der Faktor vor dem
Nun haben wir die Funktion so umgestellt, dass wir p und q bestimmen können.
2. Bestimmung von p und q
Setzen wir diese Werte nun in die p-q-Formel ein und berechnen
3. p-q-Formel anwenden
Charakteristisch für quadratische Funktionen mit zwei Nullstellen ist, dass unter der Wurzel eine positive Zahl steht. Daraus ergeben sich zwei Werte für x(
Betrachten wir noch ein weiteres Beispiel.
Beispiel
Wir multiplizieren zunächst mit
Nun können wir die Werte für p und q aus der Gleichung ablesen:
Quadratische Funktionen mit einer Nullstelle
Quadratische Funktionen, die nur eine Nullstelle haben, berühren die x-Achse in einem Punkt. Man sagt dazu auch, dass der Graph die x-Achse tangiert.
Schauen wir uns ein Beispiel an:
Beispiel
1. Quadratische Funktion gleich null setzen
2. Bestimmung von p und q
3. p-q-Formel anwenden
Beim Berechnen der Nullstelle, mithilfe der p-q-Formel solcher Funktionen, erkennen wir sofort eine Besonderheit: Bei der Anwendung der p-q-Formel ergibt der Wert unterhalb der Wurzel immer null. Aus diesem Grund kommen keine unterschiedlichen Ergebnisse für
Quadratische Funktionen ohne Nullstelle
Wie kann es sein, dass eine quadratische Funktion keine Nullstelle besitzt?
Betrachten wir beispielsweise die Funktion
Welches Ergebnis erhalten wir aber, wenn wir versuchen, die Nullstellen der Funktion mithilfe der p-q-Formel zu berechnen?
Beispiel
1. Quadratische Gleichung gleich null setzen
2. Bestimmung von p und q
3. p-q-Formel anwenden
Da die p-q-Formel nicht lösbar ist, gibt es kein Ergebnis und somit auch keine Nullstellen.
Wie lese ich die Anzahl der Nullstellen aus der p-q-Formel ab?
Merke
Zwei Nullstellen
Der Wert unter der Wurzel in der p-q-Formel ist positiv.
Eine Nullstelle
Der Wert unter der Wurzel ist genau null.
Keine Nullstelle
Der Wert unter der Wurzel ist negativ.
Beispielaufgabe: Berechne die Nullstellen mithilfe der p-q-Formel
Schauen wir uns diese Funktionen an, die zwei Schnittpunkte mit der x-Achse und somit auch zwei Nullstellen hat.
Versuche die Nullstellen einmal selber mithilfe der p-q-Formel zu berechnen.
Vertiefung
Lösung
1. Quadratische Gleichung umformen
2. Bestimmung von p und q
3. p-q-Formel anwenden
Jetzt kannst du die Nullstellen von quadratischen Funktionen mithilfe der pq-Formel berechnen. Teste dein neu erlerntes Wissen jetzt mithilfe unserer Übungen. Viel Spaß und Erfolg dabei!
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