Quadratisch Funktion - Die Scheitelpunktform umformen
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Quadratische Funktionen können in verschiedenen Formen angegeben werden, unter anderem in der allgemeinen Form und in der Scheitelpunktform. Der Vorteil bei der Scheitelpunktform besteht darin, dass der Scheitelpunkt direkt aus der Form abgelesen werden kann. Wir können die Scheitelpunktform in die allgemeine Form umformen und umgekehrt.
Die Scheitelpunktform - Definition
Eine quadratische Funktion in der Scheitelpunktform sieht allgemein so aus:
Merke
Streckfaktor:
Scheitelpunkt: S
Du kannst aus der Form direkt den Scheitelpunkt ablesen. Das
Hinweis
In euren Mathebüchern wird die Scheitelpunktform manchmal auch Scheitelform genannt. Die beiden Wörter bedeuten das Gleiche. Lass dich davon also nicht irritieren.
Scheitelpunktform in Allgemeine Form umformen
Du kannst die Scheitelpunktform in die allgemeine Form umformen. Dies musst du z. B. machen, wenn du den y-Achsenabschnitt herausfinden willst, aber die Scheitelpunktform gegeben hast.
Hier ist eine Anleitung, wie du vorgehen kannst:
Methode
1) Binomische Formel anwenden
Zunächst muss die quadrierte Klammer aufgelöst werden. Um diese Klammer aufzulösen, musst du die 1. oder 2. Binomische Formel anwenden. (Hier verwendest du die 2. Binomische Formel, da in der Klammer ein Minus steht.)
2) Die Klammer auflösen
Dies machen wir, indem wir den Faktor
3) Die letzten Werte addieren
Um den y-Achsenabschnitt herauszufinden, müssen die beiden letzten Werte, also die Zahlen ohne
Hier sind noch einmal die 3 Binomischen Formeln auf einen Blick zusammengefasst:
Hinweis
1. Binomische Formel
2. Binomische Formel
3. Binomische Formel
Für die Umformungen sind nur die 1. und 2. Formel wichtig.
Scheitelpunktform in Allgemeine Form umformen - Beispiel mit Lösungsweg
Beispiel
1) Binomische Formel ausrechnen
2) Die Klammer auflösen
3) Die letzten Werte addieren
Nun haben wir die Scheitelpunktform in die allgemeine Form überführt. Dies ist etwas leichter als umgekehrt.
Allgemeinen Form in Scheitelpunktform umformen
Du kannst auch die allgemeine Form in die Scheitelpunktform überführen. Dies musst du z. B. machen, wenn du den Scheitelpunkt herausfinden willst, aber die allgemeine Form gegeben hast.
Hier ist eine Anleitung, wie du vorgehen kannst:
Methode
1)
Die beiden Terme mit einem
2) Quadratische Ergänzung
Der Faktor vor dem x , also
3) Negativen Wert mit dem letzten Wert verrechnen
Nun wird
4) Binomische Formel "zurückrechnen"
Nun musst du den Term, der in der Klammer steht, zurückrechnen, d. h. die passende binomische Formel finden. Dies ist ganz einfach. Wir teilen den Wert vor dem x durch 2
Dies alles machst du, damit du am Ende das x und eine Zahl gemeinsam quadrieren kannst. Denn, wie du schon weißt, sieht die Scheitelpunktform so aus:
Allgemeinen Form in Scheitelpunktform umformen - Beispiel mit Lösungsweg
Die Funktion
Vertiefung
Lösungsweg
1)
2) Quadratische Ergänzung
3) Negativen Wert mit dem letzten Wert verrechnen
4) Binomische Formel "zurückrechnen"
Somit lautet unsere Scheitelpunktform:
Den Scheitelpunkt können wir nun ablesen.
Scheitelpunkt: S
S
Dies sieht anfangs sehr kompliziert aus. Aber es sind eigentlich nur 4 Schritte, die du machen musst. Wenn du das ein paar Mal gemacht hast, wird es dir leichter fallen. Schaue dir zur Übung die Übungsaufgaben an. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
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