Exponentialgleichungen lösen - Drei Herangehensweisen
This browser does not support the video element.
Exponentialgleichungen zeichnen sich durch eine unbekannte Variable im Exponenten aus:
Dein Ziel bei solchen Aufgaben wird immer sein,
Schauen wir uns verschiedene Herangehensweisen zum Lösen einer Exponentialgleichung an:
1. Fall: Das dritte Logarithmusgesetz anwenden
Betrachten wir folgende Gleichung:
Logarithmieren wir die Gleichung zunächst. Dabei benutzen wir 10 als Basis:
Mit Hilfe des dritten Logarithmusgesetztes kannst du den rechten Term umformen:
Um
Jetzt kannst du die beiden Logarithmen mit Hilfe des Taschenrechners teilen und erhältst für
2. Fall: Isolierung der Variable und Anwendung des dritten Logarithmusgesetz
Nun versuchen wir unser anfängliches Beispiel zu lösen:
In diesem Fall müssen wir erst die
Von nun an verfährst du wie oben: Du logarithmierst, isolierst
3. Fall: Brüche in Exponentialfunktionen
Leider bleiben die Aufgaben nicht immer so einfach. Um folgende Aufgabe zu lösen, brauchst du mehr Übung:
Die Variablen müssen zunächst voneinander getrennt werden, indem man
Die unbekannte Variable befindet sich in diesem Beispiel nicht nur im Exponenten, sondern auch noch im Nenner eines Bruches, was die Isolierung deutlich schwieriger macht. Als erstes muss der Exponent also aus dem Bruch herausgeholt werden. Dazu multiplizieren wir beide Seiten mit dem Hauptnenner
Hinweis
Hauptnenner = Kleinstes gemeinsames Vielfaches der Nenner mehrerer Brüche.
Wir haben gelernt, dass man diese Potenz
Jetzt kannst du so verfahren, wie schon bei den anderen beiden Aufgaben: Variablen separieren, logarithmieren, drittes Logarithmusgesetz anwenden und ausrechnen:
Exponentialgleichungen lösen - Regeln
Wie du siehst, können die Aufgaben auch sehr schwierig werden. Dabei bleiben die Grundschritte aber immer dieselben. Zunächst muss die unbekannte Variable auf eine Seite gebracht werden. Dieser Schritt kann mal einfacher oder mal schwieriger sein. Danach wird die unbekannte Variable isoliert, logarithmiert und das dritte Logarithmusgesetz angewendet. Du stößt beim Lösen einer Exponentialgleichung immer wieder auf einen solchen Ausdruck:
Bist du an dieser Stelle erst einmal angekommen, musst du nur noch das Ergebnis mit Hilfe des Taschenrechners ausrechnen.
Merke
- Variable auf eine Seite der Gleichung bringen.
- Isolierung der Variable.
- Logarithmieren.
- Anwendung des 3. Logarithmusgesetzes.
Nun weißt du, wie man Exponentialgleichungen mithilfe von Logarithmusgesetzen lösen kann. Vertiefe dein neues Wissen in unseren Übungen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
Weitere interessante Inhalte zum Thema
-
Wertebereich
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Wertebereich (Funktionsuntersuchung ganzrationaler Funktionen Teil 2) aus unserem Online-Kurs Grundlagen der Analysis (Analysis 1) interessant.