Welche Mengenverhältnisse gibt es? - Erklärung und Übungen
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In diesem Text behandeln wir die verschiedenen Arten und Beziehungen der Mengen zueinander. Beispiele hierfür sind etwa die Schnittmenge, leere Menge oder Vereinigungsmenge.
Damit du dieses Kapitel komplett verstehst, solltest du dich schon mit dem Kapitel Mengen und Elemente auseinandergesetzt haben.
4 Typen von Mengen im Vergleich
Wir haben gelernt, wie die einzelnen Objekte in einer Menge heißen und dass eine gewisse Anzahl von ihnen eine Menge ausmachen. Ein Beispiel war die Menge der natürlichen Zahlen, geschrieben:
Die leere Menge
Eine Menge, die kein einziges Element enthält nennt man leere Menge. Da diese Menge keine Elemente enthält, hat sie die Mächtigkeit
Diese Mengen sind unter anderem bei Funktionen ohne Lösungen zu finden, wo das
Merke
Die leere Menge ist die Menge, die keine Elemente enthält. Ihre Mächtigkeit ist
Teilmenge/Obermenge
Die Teilmenge ist eine weitere Art der Mengen in der Mathematik. Sie bezeichnet den Zustand, wenn eine Menge komplett in einer anderen Menge liegt und somit eine Teilmenge der größeren Menge ist. Hier ein Beispiel:
Gegeben ist die Menge
Diese Menge
Merke
Eine Menge heißt Teilmenge, wenn sie komplett Teil einer anderen Menge ist. Die größere Menge der beiden wird hierbei Obermenge genannt.
Schnittmenge
Die Schnittmenge oder auch Durchschnittsmenge bezeichnet die Menge von Elementen, die gleichzeitig in zwei Mengen enthalten sind, ohne dass die Mengen Teilmengen sind. Zeigen wir das Ganze an einem Beispiel:
Es sind die Mengen
Merke
Die Schnittmenge ist die Menge der Zahlen, die sich in zwei verschiedenen Mengen befinden. Hierbei sind beide Mengen nicht identisch oder Teilmengen zueinander. Man schreibt:
Vereinigungsmenge
Die Vereinigungsmenge ist, wie der Name schon vermuten lässt, eine Kombination beider Mengen zu einer großen Menge. Hierbei kann es auch vorkommen, dass einzelne Elemente in beiden Mengen vorhanden sind. Diese werden jedoch immer nur einmal gezählt. In einer Formel schreibt man dann:
Merke
Die Vereinigungsmenge ist die Summe von zwei Mengen. Doppelte Elemente werden einzeln gezählt.
Die Gleichheit von Mengen angeben
Unter der Gleichheit von Mengen versteht man den Zustand, wenn zwei Mengen vorhanden sind, die exakt dieselben Elemente beinhalten. Man schreibt
Die Differenz zweier Mengen angeben
Zuletzt betrachten wir die Differenz bzw. das Komplement zweier Mengen. Der Name Differenz gibt auch hier wieder einen Tipp, wie die Lösung aussehen muss, denn die Differenz ist die Menge A, in der keine Elemente aus Menge B enthalten sind. Man sagt dann
Gegeben sind die Mengen
Die Differenz der beiden Mengen ist:
Merke
Die Gleichheit von Mengen besagt, dass zwei Mengen mit denselben Elementen, eine Menge ist. Man schreibt:
Die Differenz bzw. das Komplement zweier Mengen ist die Differenz beider Mengen. Doppelte Elemente fallen hierbei weg. Man schreibt:
Zur Vertiefung dieses Themas schau auch noch einmal in die Übungen!
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