Wie berechnet man Winkel? - Formeln einfach erklärt
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In diesem Lerntext erklären wir dir, mit welchen Tricks du Winkel berechnen kannst. Dazu werden wir in einem Dreieck Winkel berechnen und auch ein einem Viereck.
Winkelberechnung - Wie berechnet man die Innenwinkelsumme?
Die Innenwinkelsumme beschreibt, wie groß alle Winkel innerhalb einer geometrischen Figur zusammengerechnet sind.
So beträgt zum Beispiel die Innenwinkelsumme eines Dreiecks immer
Hinweis
Man benötigt zwei Winkelangaben in einem Dreieck und drei Winkelangaben in einem Viereck um jeweils den fehlenden Winkel zu berechnen.
Innenwinkelsumme Dreieck
Wir können alle Winkel in diesem Dreieck zusammenrechnen und erhalten:
Merke
In jedem Dreieck ergeben die Winkel zusammen immer
Innenwinkelsumme Viereck
Wir können auch hier alle Winkel dieses Vierecks zusammenrechnen.
Merke
In jedem Viereck ergeben die Winkel zusammen immer
Winkel mit Hilfe der Innenwinkelsumme berechnen - Beispielaufgabe
Wir haben dieses Dreieck gegeben und sollen den fehlenden Winkel
Der Winkel
Winkelberechnung - Wie berechnet man Winkel mit Sinus, Kosinus und Tangens?
Die Größe eines Winkels in einem rechtwinkligen Dreieck kann mit den Winkelfunktionen Sinus, Kosinus und Tangens berechnet werden. Dabei sind nicht die anderen Winkelgrößen angegeben, sondern die Längen der Seiten des Dreiecks.
Um die Winkelfunktionen anwenden zu können, müssen wir zunächst die Seiten eines Dreiecks benennen können. Die Seiten eines Dreiecks werden auch Kathete genannt und jede Seite hat eine spezielle Bezeichnung:
Die Hypotenuse ist immer die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie liegt gegenüber von dem größten Winkel des rechtwinkligen Dreiecks, dem rechten Winkel. Die Gegen- und Ankathete beziehen sich beide auf einen der beiden spitzen Winkel. Hier ist dieser
Wenn nun zwei Seitenlängen gegeben sind können wir mit Sinus, Kosinus oder Tangens die dazugehörige Winkelgröße berechnen. Schauen wir uns hier die drei Formeln an:
Merke
Wie berechnet man Winkel mit Hilfe von Sinus, Kosinus und Tangens? - Vorgehensweise
Methode
- Benenne die Katheten.
- Was ist gesucht und was ist gegeben? Markiere dir dies in einer kleinen Skizze.
- Mit Hilfe der Skizze musst du nun überlegen, mit welcher Winkelfunktion du arbeiten kannst.
- Als letztes musst du nur noch die Angaben ausrechnen.
Schauen wir uns eine Beispielaufgabe zur Berechnung eines Winkels im Dreieck an:
Beispiel
Winkel
Um die Größe des Winkels α zu berechnen, musst du zuerst das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse bestimmen. Also wird die Gegenkathete durch die Hypotenuse geteilt und das Ergebnis wird in die Umkehrfunktion von Sinus, also in
Beispiel
Damit beträgt der Winkel
Du weißt jetzt, wie du Winkel mithilfe der Sinus-, Kosinus- und Tangesfunktionen berechnen kannst. Du hast auch gelernt, dass es eine Innenwinkelsumme von Dreiecken und Vierecken gibt. Dein neu erlerntes Wissen kannst du nun in unseren Übungsaufgaben zu Winkeln und Winkelsummen im Dreieck und Viereck überprüfen. Viel Erfolg dabei!
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