Peripheriewinkelsatz/Umfangswinkelsatz einfach erklärt
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Der Umfangswinkelsatz, oder auch Peripheriewinkelsatz genannt, ist ein Satz in der Geometrie. Es handelt sich um ein Dreieck in einem Kreis, welches durch eine feste Sehne, hier die Strecke
Wir sehen an der oberen Abbildung die Strecke
Was bedeutet der Umfangwinkelsatz?
Merke
Der Umfangswinkelsatz besagt, dass der Umfangswinkel zur selben Kreissehne gleich groß ist.
Dieser Tatbestand kann bewiesen werden. Schauen wir uns den Beweis einmal an:
Wie beweist man den Umfangwinkelsatz?
Um den Umfangswinkelsatz zu beweisen, müssen wir zunächst beweisen, dass der Mittelpunktswinkel doppelt so groß ist wie der Umfangswinkel. Die folgende Abbildung veranschaulicht dies:
Wir sehen, dass der Mittepunktswinkel
Wir ziehen vom Mittelpunkt zum Punkt
Wir wissen, dass die Innenwinkelsumme jedes beliebigen Dreiecks
Starten wir mit der Bestimmung von
Wir wissen, dass in einem Kreis die Winkelsumme insgesamt aus
Setzen wir nun die zuvor bestimmten Terme für
Damit ist bewiesen, dass der Umfangswinkel immer halb so groß ist wie der Mittelwinkel. Daraus können wir schließen, dass der Umfangswinkel immer gleich groß ist, da sich der Mittelpunktswinkel beim Bewegen von Punkt
Merke
Der Umfangswinkel ist immer halb so groß wie der Mittelwinkel.
Mit den Übungsaufgaben kannst du dein neues Wissen zu dem Peripheriewinkelsatz bzw. Umfangswinkelsatz jetzt testen. Viel Erfolg dabei!
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