Wie konstruiert und berechnet man regelmäßige Vielecke?
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In diesem Text erklären wir dir, welche Arten von Vielecken es gibt und wie du den Flächeninhalt und Umfang berechnen kannst.
Was sind regelmäßige Vielecke?
Die bekanntesten Vielecke sind regelmäßige Vielecke. Die Besonderheit an ihnen ist, dass alle Seiten gleich lang sind und alle Innenwinkel gleich groß.
Schauen wir uns zwei Beispiele an: ein Fünfeck und ein Achteck.
Vielleicht siehst du es nicht auf den ersten Blick, aber bei einem regelmäßigen Viereck haben alle Seiten die gleiche Länge und auch der Winkel zwischen den Seiten ist jeweils der gleiche.
Flächeninhalt, Umfang und Innenwinkel von Vielecken berechnen - Formeln
Hier bekommst du eine Übersicht über alle wichtigen Formel:
Methode
Flächeninhalt berechnen
Umfang berechnen
Innenwinkel berechnen
Dabei ist
Berechnungen am Vieleck - Beispielaufgabe
Berechne mit der Angabe den Flächeninhalt und die Innenwinkel.
Versuche den Flächeninhalt und die Größe der Innenwinkel zu berechnen. Gegeben ist der Umfang. Er beträgt
Vertiefung
Lösung
Der Umfang ist gegeben, er beträgt
Also zählen wir zuerst die Seiten oder die Ecken. Es sind insgesamt
Wir kennen:
Flächeninhalt:
Innenwinkel:
Formeln der Vielecke - Erklärung
Schauen wir uns hier die Herleitungen für die Formeln vom Umfang und von den Innenwinkel an:
Umfang
Die Herleitung für den Umfang ist ganz einfach. Denn es müssen einfach die Längen der Seiten zusammengerechnet werden. Demnach ist der Umfang gleich der Anzahl der Seiten mal der Seitenlänge
Innenwinkel
Wie kann der Innenwinkel berechnet werden? Starten wir mit dem einfachsten Vieleck, einem Dreieck.
Wir wissen, dass die Innenwinkelsumme, das heißt die Summe aller Winkel zwischen den Seiten,
Der Winkel zwischen den Seiten beträgt jeweils
Die Größe der Innenwinkelsumme eines beliebigen Vielecks (also auch in nicht regelmäßigen Vielecken) berechnet man mit der Formel:
Innenwinkelsumme
Dabei ist
Beispiel
Innenwinkelsumme berechnen
Viereck:
Innenwinkelsumme
Siebeneck:
Innenwinkelsumme
Die Innenwinkelsumme muss nun immer durch die Anzahl der Ecken geteilt:
Innenwinkel = Innenwinkelsumme / Anzahl der Ecken
Innenwinkel
Damit haben wir die Formeln für die Innenwinkelsumme hergeleitet.
Nun hast du viel über die Berechnungen am Vieleck gelernt. Mit den Übungsaufgaben kannst du dich prüfen. Viel Erfolg dabei!
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