Wie löst man Gleichungen durch Umformen?
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Schauen wir uns nun an, wie man Gleichungen lösen kann. Dein wichtigstes Werkzeug ist dabei die sogenannte Äquivalenzumformung. Was diese Umformung genau bedeutet, schauen wir uns jetzt genauer an:
Wie wendet man die Äquivalenzumformung an?
Gegeben ist folgende, sehr einfache Gleichung:
Was passiert, wenn ich sowohl auf der linken Seite als auch auf der rechten Seite
Du fragst dich jetzt wahrscheinlich, wieso wir so etwas unglaublich Einfaches machen? Es ist jedoch wichtig, dass du einmal genau über das nachdenkst, was für dich so selbstverständlich ist. Wir haben auf beiden Seiten die Zahl
Wie würdest du diese Aufgabe angehen? Dein Ziel ist es, herauszufinden für welche Zahl das
Unsere Aufgabe ist es also, die Gleichung so umzustellen, dass das
Wenn du auf beiden Seiten
4 Arten der Äquivalenzumformung -Überblick
Bei der Äquivalenzumformung musst du nicht immer addieren. Sie funktioniert bei allen vier Rechenoperationen. Schauen wir uns hierzu je ein Beispiel an:
Beispiel
Addition
Die Addition hast du bereits kennengelernt. Hier noch ein weiteres Beispiel:
Die Addition ist vor allem dann hilfreich, wenn die Variable
Beispiel
Subtraktion
Die Subtraktion ist vor allem dann hilfreich, wenn die Variable
Beispiel
Multiplikation
Die Multiplikation ist vor allem dann hilfreich, wenn die Variable
Beispiel
Division
Die Division ist vor allem dann hilfreich, wenn die Variable
Gleichung lösen - Mehrere Äquivalenzumformungen anwenden
Natürlich sind die Gleichungen nicht immer so einfach wie in diesen Beispielen. Bei komplexeren Gleichungen musst du die Methoden kombinieren. Schauen wir uns einmal ein schwierigeres Beispiel an:
Die Variable steht in einem Term, in dem multipliziert und subtrahiert wird. Wir wollen die Gleichung nach
Jetzt ist
Merke
Um eine Gleichung zu lösen, wendet man die Äquivalenzumformung an. Dabei gilt:
- Du darfst auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl addieren oder subtrahieren.
- Du darfst auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl (außer null) multiplizieren oder dividieren.
Aufgabe mit Lösung - Gleichung lösen
Es kann auch passieren, dass du auf eine Gleichung stößt, bei der sowohl auf der linken als auch auf der rechten Seite die Variable steht.
Zunächst musst du auf jeder Seite der Gleichung den Term soweit wie möglich vereinfachen, indem du zusammenfasst, was du zusammenfassen kannst:
Nun musst du die Variable auf die eine Seite der Gleichung und die Zahlen ohne Variable auf die andere Seite der Gleichung bringen. Auch dabei hilft dir die Äquivalenzumformung. Der einzige Unterschied:
Wir erhalten eine Gleichung, die wir mittels weiterer Äquivalenzumformungen lösen können.
Am Ende der Aufgabe solltest du immer überprüfen, ob
Erhältst du, wie in diesem Beispiel, einen mathematisch korrekten Ausdruck, hast du richtig gerechnet.
Merke
Beim Lösen von Gleichungen, in denen die Variable mehrmals vorkommt, gelten folgende Arbeitsschritte:
- Die Terme auf den beiden Seiten der Gleichung soweit wie möglich vereinfachen (zusammenfassen).
- Die Variable durch Äquivalenzumformung auf eine Seite bringen.
- Die Gleichung durch weitere Äquivalenzumformungen lösen.
Nun hast du einen detaillierten Einblick darüber erhalten, wie man Gleichungen umformen und lösen kann. Um dein Wissen zu vertiefen, teste dich in unseren Übungen. Dabei wünschen wir dir viel Spaß und Erfolg!
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