Wie löst man Bruchungleichungen? - Schritte einfach erklärt
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Neben linearen Ungleichungen gibt es auch Bruchungleichungen. Eine Bruchungleichung ist eine Ungleichung, die aus mindestens einem Bruchterm besteht. Ein Bruchterm ist ein Bruch, dessen Nenner eine Variable enthält. Wie lineare Ungleichungen lassen sich auch Bruchungleichungen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen lösen. Und auch bei den Bruchungleichungen musst du beachten, dass du das Relationszeichen > 0 oder < 0 setzt.
Beispiel
Wie bestimmt man die Definitionsmenge einer Bruchungleichung?
Wie bei der Bruchgleichung muss auch bei der Bruchungleichung zunächst die Definitionsmenge von
Die Variable
Bruchungleichung lösen - So geht's!
Das Ergebnis des Bruchterms muss laut der Ungleichung größer als
1. Fall: Zähler und Nenner sind größer als
Sind Zähler und Nenner beide positiv, so ist auch das Ergebnis des Bruchtermes positiv. Mathematisch bedeutet das folgendes:
Merke
Bei Bruchungleichungen werden Zähler und Nenner separat betrachtet.
Wir erhalten also je eine lineare Ungleichung für den Zähler und den Nenner. Lösen wir diese Ungleichungen weiter auf, erhalten wir:
Die Variable
Dieses Ergebnis ist jedoch nur ein Teil der Lösung. Das Ergebnis des Bruchtermes ist nämlich auch dann positiv, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner des Bruches negativ ist. Zum Lösen der Bruchungleichung müssen wir also noch einen weiteren Fall betrachten.
2. Fall: Zähler und Nenner sind kleiner als
Das Ergebnis des Bruchtermes ist auch dann positiv, wenn sowohl der Zähler als auch der Nenner des Bruchtermes negativ ist. (Du erinnerst dich bestimmt daran, dass die Division zweier negativer Zahlen zu einem positiven Ergebnis führt.)
Hinweis
Zähler und Nenner werden wieder in zwei unterschiedlichen Ungleichungen betrachtet:
Die Variable
Tragen wir beide Ergebnisse für
Die Varibale
Die Variable
Dein neu erlerntes Wissen zum Lösen von Bruchungleichungen kannst du nun mit unseren Übungsaufgaben testen. Viel Erfolg dabei!
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