Satz des Thales anwenden - Mit Übungen einfach erklärt
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Satz des Thales - Definition
Der Satz des Thales ist einer der ältesten Sätze der Mathematik. Er besagt, dass alle Winkel in einem Halbkreisbogen rechtwinklig sind. Genau gesagt bedeutet das: Ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines Halbkreises (Thaleskreis) und einem weiteren Punkt dieses Halbkreises, ergibt immer ein rechtwinkliges Dreieck. Schauen wir uns dies an einer Skizze an.
Methode
Wie du siehst, entsteht, egal wohin du den Punkt D bewegst, immer ein rechtwinkliges Dreieck. Versuche dies einmal selbst mit dem Interaktiven Arbeitsblatt aus.
Der Thaleskreis - Erklärung
Der Thaleskreis ist eigentlich nichts anderes als ein Halbkreis, der durch den Durchmesser getrennt wird. Da der rechte Winkel immer gegenüber von dem Durchmesser ist, ist dieser immer die Hypotenuse des gebildeten rechtwinkligen Dreiecks.
Satz des Thales - Der Beweis
Vom Mittelpunkt zum Punkt D ziehen wir eine Hilfslinie und haben nun drei Dreiecke:
- Dreieck: Eckpunkte
und - Dreieck: Eckpunkte
und Mittelpunkt - Dreieck: Eckpunkte
und Mittelpunkt
Schauen wir uns nun die Dreiecke an. Unser Ziel ist es zu beweisen, dass
Schauen wir uns das große Dreieck BCD mit der Linie vom Mittelpunkt zum Punkt D an. Wir sehen, dass durch die Linie zwei gleichschenklige Dreiecke gebildet werden. Die drei Schenkel sind alle so groß wie der Radius. Aus diesem Grund sind die Winkel
Merke
Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beträgt immer
Wenden wir die Regel der Größe der Innensummen auf unsere Aufgabe an. Dann ist also
Da
Da
Da die Winkel
Damit haben wir schon bewiesen, dass
Satz des Thales anwenden - Beispielaufgabe
Ein Mädchen steht mitten auf einem exakt kreisförmig zugefrorenem See. Der See hat einen Durchmesser von
Diese Aufgabe kann mit dem Satz des Thales gelöst werden. Dafür zeichnen wir einen Kreis, bei dem die Kreislinie sowohl durch den Hund als auch durch das Mädchen läuft.
Nun haben wir einen Kreis, dessen Durchmesser gleich groß ist, wie der Abstand zwischen dem Mädchen und dem Hund.
Jetzt können wir ein Dreieck einzeichnen und dann mit Hilfe der Winkelfunktionen die Größe der Hypotenuse bestimmen. Unsere drei Winkelfunktionen, Sinus, Kosinus und Tangens, sind wie folgt definiert:
Hinweis
Nun haben wir ein Dreieck, wobei wir die Gegenkathete (Radius des Sees) und den Winkel gegeben haben.
Vertiefung
Falls du nicht mehr weist, wie die Katheten benannt werden, schaue dir dies hier an.
Benennung der Katheten
Eine Kathete ist einfach eine Seite des Dreiecks.
Hier siehst du, wo sich die Hypotenuse, die Ankathete und die Gegenkathete befinden.
An- und Gegenkathete beziehen sich immer auf den gegebenen Winkel.
Wir kennen den Radius des kleinen Kreises. Er ist
Nun müssen wir nur noch den Radius abziehen und erhalten die Entfernung zwischen dem Hund und dem See.
Teste dein neu erlerntes Wissen zum Satz des Thales und dessen Beweis mit unseren Übungsaufgaben! Wir wünschen dir viel Erfolg!
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