Wie löst man binomische Formeln mit Pascalschem Dreieck?
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In diesem Lerntext geben wir dir zu dem sogenannten Pascalschen Dreieck eine Erklärung. Das Pascalsche Dreieck ist eine bestimmte Anordnung von Zahlen, die auf den ersten Blick ein wenig ungewöhnlich aussieht. Tatsächlich sind diese Zahlen allerdings nach einem ganz bestimmten System geordnet und helfen uns darüber hinaus auch noch beim Rechnen und Aufstellen binomischer Formeln höheren Grades. Am Ende dieses Lerntextes findest du zum Thema Pascalsches Dreieck Übungen, um dein erlerntes Wissen zum Pascalschen Dreieck in der Anwendung zu vertiefen.
Form und Aussehen des Pascalschen Dreieck
Wie der Name bereits verrät, erscheint die Zahlenfolge eines Pascalschen Dreiecks in einer dreieckigen Form. Diese ergibt sich daraus, dass die Zeilen von oben nach unten gesehen immer länger werden. Die erste Zahlenreihe besteht nur aus einer einzelnen Zahl: der Eins. Pro Zeile kommt nun eine weitere Zahl zur Zahlenreihe hinzu, dabei stehen am Anfang und am Ende jeder Zeile jeweils Einsen. Die Zahlen, die zwischen den Einsen stehen, werden nach einem bestimmten System gebildet. Sie ergeben sich aus der Addition der beiden oberen Zahlen (s. Abbildung).
Das Pascalsche Dreieck lässt sich beliebig oft um weitere Zahlenreihen verlängern, es gibt theoretisch kein Ende.
Beispiel
Pascalsche Dreieck - Anwendung
Setze im Pascalschen Dreieck die fehlenden drei Zahlen ein.
Wir wissen, dass die Zahlen sich aus den Summen der beiden Zahlen ergeben, die links und rechts über dem Fragezeichen stehen. Wir rechnen für die fehlenden Zahlen also:
1.
2.
3.
Binomische Formeln mit Pascalschem Dreieck lösen
Das Pascalsche Dreieck und binomische Formeln stehen im Zusammenhang zueinander, denn das Pascalsche Dreieck hilft uns, Binome der folgenden Form auszumultiplizieren:
Hinweis
Der Exonent
Dabei entspricht
In der zweiten Zeile erkennen wir die erste binomische Formel wieder. Die Koeffizienten der binomischen Formeln kannst du also direkt am Pascalschen Dreieck ablesen. Dies hilft dir vor allem bei Binomen, deren Exponent
Teste und überprüfe dein neu erlerntes Wissen zum Pascalschen Dreieck in unseren Übungen! Dort kannst du dein Wissen über das Pascalsche Dreieck jetzt überprüfen. Viel Erfolg dabei!
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