Quadratische Ergänzung - Vorgehensweise einfach erklärt
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Die quadratische Ergänzung ist neben der p-q-Formel und der Mitternachtsformel eine Methode um quadratische Gleichungen nach
5 Schritte der Quadratische Ergänzung - Erklärung
Betrachten wir folgende quadratische Gleichung:
In einem ersten Schritt müssen wir die quadratische Gleichung in ihre Normalform umformen, das heißt, dass der Faktor vor dem
1. Schritt: Umformung der quadratischen Gleichung in die Normalform
2. Schritt: Variablentrennung
Im nächsten Schritt sortieren wir die Gleichung so um, dass alle Zahlen, die mit einer Variable (in diesem Fall
3. Schritt: quadratische Ergänzung
Nun kommen wir zum entscheidenden Schritt: die quadratische Ergänzung. Um eine quadratische Ergänzung machen zu können, benötigen wir eine Zahl aus der Gleichung. Allerdings nicht eine beliebige Zahl, sondern die Zahl, die vor dem
Eine quadratische Ergänzung folgt immer demselben Muster: Du addierst auf beiden Seiten der Gleichung die Hälfte der Zahl vor dem
Merke
Quadratische Ergänzung
Wieso machen wir das? Aus mathematischer Sicht ändern wir an der Gleichung nichts, da wir auf beiden Seiten dasselbe addieren. Schauen wir uns den nächsten Schritt an.
4. Schritt: Binomische Formel erkennen und rückwärts anwenden
Für den nächsten Schritt musst du dich an die binomischen Formeln erinnern.
Hinweis
1. Binomische Formel:
2. Binomische Formel:
3. Binomische Formel:
Vergleichen wir die linke Seite unserer quadratischen Gleichung mit der ersten binomischen Formel fällt auf, dass wir durch die quadratische Ergänzung einen ganz ähnlichen Ausdruck erzeugt haben:
Wir können den linken Ausdruck der quadratischen Gleichung also mit Hilfe der binomischen Formel vereinfachen:
Nun haben wir das
5. Schritt: Gleichung nach umstellen
Die quadratische Gleichung hat zwei reelle Lösungen.
Merke
Anwendung der quadratischen Ergänzung
- Umformung der quadratischen Gleichung in die Normalform
- Sortieren der Variablen
- Quadratische Ergänzung
- Binomische Formel erkennen und rückwärts anwenden
- Gleichung nach
umstellen
Quadratsiche Ergänzung anwenden - Beispielaufgaben
Beispiel
Beispiel
Achtung: Da wir die Form
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